（2004•江苏）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 23:47:05

（2004•江苏）在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD₁的距离．

建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），
D（0，0，4），B（4，4，0）
（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，∵CC₁=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=
17，
∴tan∠APB=
AB
PB=
4

17=
4
17
17
∴∠APB＝arctan
4
17
17
（2）证明：由已知OH⊥面APD₁，∴OH⊥AP，
连接B₁D₁，由于O是上底面的中心，故O∈B₁D₁，
由正体的性质知B₁D₁⊥面AC₁，
又AP⊂面AC₁，
∴B₁D₁⊥AP
又B₁D₁∩OH=0
∴AP⊥面D₁OH，
∴D₁H⊥AP
（3）如图

AB=（0，4，0），

AD 1=（-4，0，4）