求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和（现在就要!……）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 09:56:39

求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和（现在就要!……）
用反证法，开头我已经知道了。
假设求证的结论不成立
即4n+3=a²+b²
……后面是什么？

4n+3是奇数
所以必然是一奇一偶两个平方数相加
假设4n+3=(2m)^2+(2k-1)^2=4m^2+4k^2-4k+1
=4(m^2+k^2-k)+1
4m+3除以4余数是3
而4(m^2+k^2-k)+1除以4余数是1
所以等式不成立
所以4n+3不能化为两整数的平方和
再问：用反证法，开头我已经知道了。假设求证的结论不成立即4n+3=a²+b² ……后面是什么？谢谢……
再答：首先 4n+3 必然是个奇数 (一个数的4倍再加3肯定是奇数这不用多说吧）一个奇数表示成两个数的和，那么这两个数必为一奇一偶我们已经假设了4n+3能分成两个数的平方和，那么这两个数的平方必为一奇一偶这两个数也必为一奇一偶，偶数可以表示也 2n 奇数可以表示成 2k-1 那么就有 4n+3=(2m)^2+(2k-1)^2=4m^2+4k^2-4k+1 =4(m^2+k^2-k)+1 然后按照上面的结论就能得出证明结果。还有疑问吗，可以继续追问。
再问：可是你这跟我上面写的不一样啊！是有a²+b²的，这个a²+b²肯定是有用的！可不可以更简洁一点，用上a²+b²？我知道这是难为你了，但是拜托了！做不好这一题我今天甭想睡觉了！谢谢，真的非常谢谢你！
再答：那么就可以令a是其中的偶数,b是其的奇数那么可以设 a=2m (因为a是偶数，可以写成一个数2倍的形式） b=2k-1 (b是奇数，可以写成一个数2倍减1的形式）这个题必然要用到奇偶性的。

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