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下列函数中,在(0,π2)上有零点的函数是(  )

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 03:50:25
下列函数中,在(0,
π
2
对于A:f'(x)=cosx-1<0,x∈(0,
π
2)
∴f(x)在(0,
π
2)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,
π
2)上无零点,故错;
对于B:令f′(x)=cosx-
2
π=0,得x1=arccos
2
π,
当0<x<x1时,f′(x)>0,当x1<x<
π
2时,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,
π
2)上单调递减,
而f(0)=0,f(
π
2)=0,故该函数在(0,
π
2)上无零点,故错;
对于C:f′(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,x∈(0,
π
2)
∴f(x)在(0,
π
2)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,
π
2)上无零点,故错;
对于D:令f′(x)=2sinxcosx-
2
π=sin2x-
2
π=0,得x1=arcsin
2
π,或x2=π-arcsin
2
π,
当0<x<x1时,f′(x)<0,当x1<x<x2时,f′(x)>0,当x2<x<
π
2时,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,
π
2)上单调递减,
而f(0)=0,f(
π
2)=0,故该函数在(0,
π
2)上有零点,故正确;
故选D.