如何证明无穷维欧式空间正交变换不一定是满射?举个反例谢了

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:25:25

考虑由实数列组成的集合V = {(a[1],a[2],a[3],...) | a[k] ∈ R,∑a[k]² < +∞}.
易验证其为R上的线性空间.
并可定义内积(a[1],a[2],a[3],...)·(b[1],b[2],b[3],...) = ∑a[k]b[k] (可证收敛).
V是R上的欧式空间.
考虑V上的右平移变换A:A(a[1],a[2],a[3],...) = (0,a[1],a[2],a[3],...).
易验证其为线性变换,并保持内积((Ax)·(Ay) = x·y),即为正交变换.
但A的像集中的元素的第一个分量总是0,因此A不为满射.
再问：正交变换不是保长度不变吗？由（a1,a2,...an)到（0，a1,a2,....an-1)的长度不是变了吗？？还有哪个项找不到原项？？、
再答：注意这里是无穷数列. 右平移相当于(a[1], a[2], a[3], ...)变为(b[1], b[2], b[3], ...), 其中b[1] = 0, b[k] = a[k-1]对k > 1. 易见∑{1 ≤ k} a[k]² = ∑{1 ≤ k} b[k]², 因此长度是不变的. 因为像集元素的第一个分量只能为0, 所以第一个分量非零的元素找不到原像. 例如(1,0,0,...).

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