如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（-3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 05:30:47

如图1在平面直角坐标系中，⊙O₁与x轴切于A（-3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．

（1）求证：∠ABO₁=∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，过A、B两点作⊙O₂与y轴的正半轴交于M，与O₁B的延长线交于N，当⊙O₂的大小变化时，得出下列两个结论：①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．

（1）连接O₁A，则O₁A⊥OA，又OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（2）作O₁E⊥BC于点E，
∴E为BC的中点，
∵BC=8，∴BE=
1
2BC=4，
∵A（-3，0），
∴O₁E=OA=3，
在直角三角形O₁BE中，
根据勾股定理得：O₁B=
BE2+O1B2=
42+32=5，
∴O₁A=EO=5，
∴BO=5-4=1，
在直角三角形AOB中，
根据勾股定理得：AB=
AO2+BO2=
10；

（3）①BM-BN的值不变，理由为：
证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，又∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都为

AB所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
∵

AM＝AN
∠AMG＝∠ANB
MG＝BN，
∴△AMG≌△ANB（SAS），