关于相似三角形的问题已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 05:55:05
关于相似三角形的问题
已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.
(1)如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证:CF+√2 AE=BC
(2)如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD的延长线时,猜想CF、AE、BC的数量关系.
已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.
(1)如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证:CF+√2 AE=BC
(2)如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD的延长线时,猜想CF、AE、BC的数量关系.
第一个问题:
过F作FH⊥AB交AB于H.
∵ABCD是正方形,∴HB⊥BC、FC⊥BC,结合作出的FH⊥BH,得:BCFH是矩形,
∴CF=BH,且∠BCH=∠CBF.
∵ABCD是正方形,∴∠BAC=∠ACB=45°,∠ABC=90°,又∠EBF=45°,
∴∠ECH=∠ACB-∠BCH=45°-∠CBF, ∠EBH=∠ABC-∠EBF-∠CBF=45°-∠CBF,
∴∠ECH=∠EBH,∴B、C、E、H共圆,∴∠HEC+∠ABC=180°,∴∠HEC=90°,
结合证得的∠BAC=45°,得:AH=√2AE.
显然,有:AH+BH=AB,∴√2AE+CF=AB.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∴CF+√2AE=BC.
第二个问题:
过E作EK⊥CB交CB的延长线于K,延长DA交EK于J.
∵ABCD是正方形,∴∠JAB=∠ABK=90°,结合作出的JK⊥BK,得:ABKJ是矩形,
∴AJ=BK,AB=JK,且∠AJE=90°.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠CAD=45°.
∴∠JAE=∠CAD=45°,结合证得的∠AJE=90°,得:EJ=AJ=AE/√2.
∴EK=EJ+JK=AE/√2+BC, BK=AJ=AE/√2.
由勾股定理,有:BE^2=EK^2+BK^2=(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2.
∵ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠ECF=45°,又∠EBF=45°,∴B、C、F、E共圆,
∴∠BEF=180°-∠BCD=90°,∴EF=BF.
∴EF^2=BE^2=(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2
过E作EM⊥CF交CF于M.
由EM⊥CM、KC⊥KC、EK⊥KC,得:EKCM是矩形,又∠ECM=45°,
∴矩形EKCM是正方形,∴CM=EK=EM.
∴再由勾股定理,有:EF^2=EM^2+MF^2,
∴(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2=(AE/√2+BC)^2+(CF-CM)^2,
∴AE/√2=CF-CM=CF-EK=CF-(AE/√2+BC)=CF-AE/√2-BC,
∴CF-(2AE/√2)=BC,∴CF-√2AE=BC.
∴此时CF、AE、BC的数量关系是:CF-√2AE=BC.
过F作FH⊥AB交AB于H.
∵ABCD是正方形,∴HB⊥BC、FC⊥BC,结合作出的FH⊥BH,得:BCFH是矩形,
∴CF=BH,且∠BCH=∠CBF.
∵ABCD是正方形,∴∠BAC=∠ACB=45°,∠ABC=90°,又∠EBF=45°,
∴∠ECH=∠ACB-∠BCH=45°-∠CBF, ∠EBH=∠ABC-∠EBF-∠CBF=45°-∠CBF,
∴∠ECH=∠EBH,∴B、C、E、H共圆,∴∠HEC+∠ABC=180°,∴∠HEC=90°,
结合证得的∠BAC=45°,得:AH=√2AE.
显然,有:AH+BH=AB,∴√2AE+CF=AB.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∴CF+√2AE=BC.
第二个问题:
过E作EK⊥CB交CB的延长线于K,延长DA交EK于J.
∵ABCD是正方形,∴∠JAB=∠ABK=90°,结合作出的JK⊥BK,得:ABKJ是矩形,
∴AJ=BK,AB=JK,且∠AJE=90°.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠CAD=45°.
∴∠JAE=∠CAD=45°,结合证得的∠AJE=90°,得:EJ=AJ=AE/√2.
∴EK=EJ+JK=AE/√2+BC, BK=AJ=AE/√2.
由勾股定理,有:BE^2=EK^2+BK^2=(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2.
∵ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠ECF=45°,又∠EBF=45°,∴B、C、F、E共圆,
∴∠BEF=180°-∠BCD=90°,∴EF=BF.
∴EF^2=BE^2=(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2
过E作EM⊥CF交CF于M.
由EM⊥CM、KC⊥KC、EK⊥KC,得:EKCM是矩形,又∠ECM=45°,
∴矩形EKCM是正方形,∴CM=EK=EM.
∴再由勾股定理,有:EF^2=EM^2+MF^2,
∴(AE/√2+BC)^2+(AE/√2)^2=(AE/√2+BC)^2+(CF-CM)^2,
∴AE/√2=CF-CM=CF-EK=CF-(AE/√2+BC)=CF-AE/√2-BC,
∴CF-(2AE/√2)=BC,∴CF-√2AE=BC.
∴此时CF、AE、BC的数量关系是:CF-√2AE=BC.
已知AD是三角形ABC的中线,过点B作射线交AD,AC于点E,F,与过点C且平行于AB的直线交于点G,求证BE^2=EF
如图所示,已知在三角形ABC中,BF=CD,E是AD上的点,过E点的直线交AB于F,交AC于G,求证:AB/AF+AC/
相似三角形如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线EF‖BD,交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F,若S△AE
已知,点G是三角形ABC的重心,过G的直线EF交AB,AC于E,F,求证BE/AE+CF/AF=1
如图,过正方形ABCD的顶点C作平行于对角线BD的直线MN,自B引直线交CD于E,交MN于点F,且BF=BD,求∠DBF
相似的题,正方形ABCD,E为BC的中点,点F在AB的延长线上,直线EF交AC于G点
已知 如图 三角形ABC中 AB=AC 点D在BC上 过D点的直线分别交AB于点E 交AC的延长线于点F 且BE-CF
如图,AD是△ABC的边BC上的中线,过D点的直线EF交边AC于点E,交AC的平行线BF于点F,DG⊥EF交AB于点G,
四边形ABCD的对角线AC BD交于点P,过P点作直线交AD于E,交BC于F 若PE=PF
已知在三角形ABC中,BD=CD,E是AD上的点,过E点的直线交AB于F,交AC于G,求证:AB/AF+AC/AG=2A
在平行四边形ABCD中,过对角线AC的中点O做直线EF分别与AD、BC交于点E、F,连结BE、AF交于点G,连结EC、F
已知:如图在直线梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于G,交AB于E且AE=AC.求