（2010•龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，-4）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:14:24

（2010•龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若直线y=-x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）设所求的抛物线解析式y=ax²+bx+c，
∵点A、B、C均在此抛物线上，
∴

4a−2b+c＝0
16a+4b+c＝0
c＝−4
∴

a＝
1
2
b＝−1
c＝−4
∴所求的抛物线解析式为y=
1
2x2-x-4，
即y=
1
2（x-1）²-
9
2，
∴顶点D的坐标为（1，-
9
2），

（2）△EBC的形状为等腰三角形，
证明：
∵直线MN的函数解析式为y=-x，
∴ON是∠BOC的平分线，
∵B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，-4），
∴CO=BO=4，
∴MN是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
即△ECB是等腰三角形，

（3）答：存在，
∵PF∥ED，
∴要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED，
∵点E是抛物线的对称轴和直线的交点，
∴E点的坐标为（1，-1），
∴ED=-1-（-
9
2）=
7
2，
∵点P是直线上的动点，
∴设P点的坐标为（k，-k），
则直线PF的函数解析式为x=k，
∵点F是抛物线和直线PF的交点，
∴F的坐标为（k，
1
2k2−k−4），
∴PF=−k−(
1
2k2−k−4)＝−
1
2k2+4，
∴-
1
2k2+4＝
7
2，
∴k=±1，

如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）已知如图,抛物线y=a(x+1)2+c于y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为（-2,0）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）．如图,抛物线y=1/2x²+bx+c与y轴交于点C（0,-4）,与x轴交于点A,B,且B点的坐标为（2,0）（（2009•河池）如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的已知如图抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点c（0,4）,与x轴交于点A、B,点A的坐标为（4, 已知,如图,抛物线y=ax^2-2ax+c(a不等于0）的图像与y轴交于点c（0,4）,与x轴交于点A、B,点A的坐标为已知,如图,抛物线y=ax^2-2ax+c(a不等于0）与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,点A的坐标为（4, 如图,抛物线y=x²-2x-k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C（0,-3）（2012•深圳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知如图,已知抛物线y=ax平方+bx-2（a不等0）与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D（