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若a^x≥x^a对任意x∈(0,+∞)恒成立,则正数a的取值集合为?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 19:37:51
若a^x≥x^a对任意x∈(0,+∞)恒成立,则正数a的取值集合为?
在不等式a^x≥x^a
两边取自然对数得
xlna≥alnx
因a>0,x>0
所以有(lna)/a≥(lnx)/x
这样问题转化为:
不等式(lna)/a≥(lnx)/x,对任意x∈(0,+∞)恒成立
只需(lna)/a≥(lnx)/x的最大值
令f(x)=(lnx)/x x∈(0,+∞)
则f'(x)=(1-lnx)/x²
当x∈(0,e]时f'(x)>0 增函数
当x∈[e,+∞)时f'(x)f(e)是不可能的
那只能够f(a)=f(e)
所以a=e
a的取值集合为{e}