关于非齐次方程组的解的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 19:47:48

关于非齐次方程组的解的问题
设η*是非齐次方程组AX=b的一个解,ξ1,ξ2,……,ξn-r是对应的齐次方程组的一个基础解系,证明
⑴η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r线性无关;
⑵η*,η*+ξ1,η*+ξ2,……,η*+ξn-r线性无关.

⑴假如相关,存在不全0之k,k1,……,k（n-r）,
使kη*＋k1ξ1+……+k（n-r）ξ（n-r）＝0.k≠0,否则ξ1,ξ2,……,ξn-r相关,
不可,从而η*可以用ξ1,ξ2,……,ξn-r线性表示,方程组右边的b=0,也不可.
所以η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r线性无关;
⑵显然向量组｛η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r｝与｛η*,η*+ξ1,η*+ξ2,……,η*+ξn-r｝
等价.（即可以互相线性表示）.而且向量个数相等,所以具有相同的相关性
,向量组｛η*,ξ1,ξ2,……,ξn-r｝线性无关;从而
向量组｛η*,η*+ξ1,η*+ξ2,……,η*+ξn-r｝也线性无关.

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