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已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）2+（lnx-a）2．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/14 03:32:20
已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）2+（lnx-a）2．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥
1
2
（Ⅰ）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=
1
x，…（1分）
∴f′（1）=1，…（2分）
故切线方程为y=x-1；…（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=（x-a）2+（lnx-a）2，
∴g′（x）=2（x-
a
x+
lnx
x-a），…（5分）
令F（x）=x-
a
x+
lnx
x-a，则y=F（x）在[1，+∞）上单调递增．
F′（x）=
x2-lnx+a+1
x2，则当x≥1时，x2-lnx+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥-x2+lnx-1恒成立．…（6分）
令G（x）=-x2+lnx-1，则当x≥1时，G′（x）=
1-2x2
x＜0，
故G（x）=-x2+lnx-1在[1，+∞）上单调递减，从而G（x）max=G（1）=-2，（7分）
故a≥-2．…（8分）
（Ⅲ）证明：g（x）=（x-a）2+（lnx-a）2=2a2-2（x+lnx）a+x2+ln2x，
令h（a）=2a2-2（x+lnx）a+x2+ln2x，则h（a）≥
(x-lnx)2
2．…（9分）
令Q（x）=x-lnx，则Q′（x）=
x-1
x，显然Q（x）=在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…（10分）
则Q（x）min=Q（1）=1，…（11分）
则g（x）=h（a）≥
1
2．…（12分）
已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x 已知函数f（x）=x｜lnx-a｜ 已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f（x）=lnx,g（x）=1/2ax^2+2x,a≠0... 已知函数f(x)=3/2ax^2 ,g(x)=-6x+lnx^3（a不等于0） 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx． 已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x． 已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）． 已知函数F（x）=lnx+a(x^2 - x ) 已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数） 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R 已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x^2+x)