作业帮关于线性代数的问题,紧急!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 06:32:12
关于线性代数的问题,紧急!
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
二.总结题
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用（要求至少3种）并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换（要求至少3种）,同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.
第一大题必做,第二大题二选一,
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
二.总结题
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用（要求至少3种）并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换（要求至少3种）,同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.
第一大题必做,第二大题二选一,
快考线代了,做一下热热身吧：
一.包含的知识点：行列式的化简,求解矩阵方程,施密特正交化,求矩阵的特征值和特征向量.
（1）单根的实例：对于矩阵
1 0 2
0 1 2
2 2 -1
求正交矩阵T,将其化为对角阵.
|λI-A|=
λ-1 0 -2
0 λ-1 -2
-2 -2 λ+1
=
（λ-1）|1 0 0|
|0 λ-1 -2|
|-2 -4 λ+1|（以上为一个行列式,水平有限,见谅）
=（λ-1）（λ+3）（λ-3）
所以λ1=3,λ2=1,λ3=-3.
将λ1,λ2,λ3分别代入方程（λI-A）x=0中得：
X1=(1,1,1)T x2=(-1,1,0)T x3=(1,1,-2)T
由于以上三个向量两两正交,因此只需进行单位化,得到：
Y1=(1/根号3,1/根号3,同前）T
Y2=（-1/根号2,1/根号2,0）T
Y3=(1/根号6,1/根号6,-2/根号6）T
因此所求的正交矩阵为（将y1y2y3写成列向量的形式组成矩阵）
对角阵为diag（3,1,-3）.
(2)有重根的实例：对于实对称矩阵：
1 1 0
1 1 0
0 0 2
求正交矩阵,将其化为对角阵.
|λI-A|=
λ-1 -1 0
-1 λ-1 0
0 0 λ-2
=(λ-2)|1 0 0|
|-1 λ 0|
|0 0 λ-2|（以上为一个行列式）
=λ（λ-2)(λ-2)
所以λ1=λ2=2,λ3=0.
将其分别代入方程（λI-A)X=0中得：
x1=（0,0,1）T
x2=（1,1,0）T
x3=（-1,1,0）T
单位化得：
y1=（0,0,1）T
y2=（1/根号2,1/根号2,0）T
y3=（-1/根号2,1/根号2,0）T
所以所求正交矩阵为：
0 1/根号2 -1/根号2
0 1/根号2 1/根号2
1 0 0
对角化矩阵为：diag（2,2,0)
二.1.（1）判断矩阵是否为可逆矩阵,只需判断行列式是否为零.
（2）求矩阵的逆矩阵,
（3）用克莱姆法则解线性方程组.实例略了哈.
一.包含的知识点：行列式的化简,求解矩阵方程,施密特正交化,求矩阵的特征值和特征向量.
（1）单根的实例：对于矩阵
1 0 2
0 1 2
2 2 -1
求正交矩阵T,将其化为对角阵.
|λI-A|=
λ-1 0 -2
0 λ-1 -2
-2 -2 λ+1
=
（λ-1）|1 0 0|
|0 λ-1 -2|
|-2 -4 λ+1|（以上为一个行列式,水平有限,见谅）
=（λ-1）（λ+3）（λ-3）
所以λ1=3,λ2=1,λ3=-3.
将λ1,λ2,λ3分别代入方程（λI-A）x=0中得：
X1=(1,1,1)T x2=(-1,1,0)T x3=(1,1,-2)T
由于以上三个向量两两正交,因此只需进行单位化,得到：
Y1=(1/根号3,1/根号3,同前）T
Y2=（-1/根号2,1/根号2,0）T
Y3=(1/根号6,1/根号6,-2/根号6）T
因此所求的正交矩阵为（将y1y2y3写成列向量的形式组成矩阵）
对角阵为diag（3,1,-3）.
(2)有重根的实例：对于实对称矩阵：
1 1 0
1 1 0
0 0 2
求正交矩阵,将其化为对角阵.
|λI-A|=
λ-1 -1 0
-1 λ-1 0
0 0 λ-2
=(λ-2)|1 0 0|
|-1 λ 0|
|0 0 λ-2|（以上为一个行列式）
=λ（λ-2)(λ-2)
所以λ1=λ2=2,λ3=0.
将其分别代入方程（λI-A)X=0中得：
x1=（0,0,1）T
x2=（1,1,0）T
x3=（-1,1,0）T
单位化得：
y1=（0,0,1）T
y2=（1/根号2,1/根号2,0）T
y3=（-1/根号2,1/根号2,0）T
所以所求正交矩阵为：
0 1/根号2 -1/根号2
0 1/根号2 1/根号2
1 0 0
对角化矩阵为：diag（2,2,0)
二.1.（1）判断矩阵是否为可逆矩阵,只需判断行列式是否为零.
（2）求矩阵的逆矩阵,
（3）用克莱姆法则解线性方程组.实例略了哈.