求证无理数是无限不循环小数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 09:00:35

求证无理数是无限不循环小数
感觉许多人对此问题感到理所当然,但是细想一下,对于“有理数”的定义是：可以表示为m/n,其中m、n都是整数且n≠0的数.那么“无理数”的定义就是：不可以表示为m/n,其中m、n都是整数且n≠0的数.从定义上看,无理数就是不能写成两整数之比的数,而没有对其小数部分进行任何描述,但是许多人就把无理数定义为无限不循环小数了.“无理数是无限不循环小数”是事实,但是并不是定义.希望有高手给出证明.

证：如果无理数不是无限不循环小数,则可以有3种可能
1、无理数是有限不循环小数
2、无理数是无限循环小数
3、无理数是有限循环小数
该3个命题,1和3明显错误,则针对2进行讨论
如果无理数是无限循环小数,则假设循环位数为k位,为A1A2A3……Ak,则该循环部分可以写成
X=A1A2A3……Ak（10^-k+10^-2k+……)
括号里为无限等比数列求和,根据极限计算方法,该极限收敛,所以X也收敛,所以X是有理数,和假设矛盾

无理数一定是无限不循环小数吗 π为什么是无理数?无限不循环小数就是无理数吗? 无限循环小数是无理数吗? 无限不循环小数叫做无理数是命题吗无限不循环小数看做有理数还是无理数大家知道根号5是无理数,而无理数是无限不循环小数, 大家知道根号31是无理数,而无理数是无限不循环小数, 有理数包不包括无理数有理数包括小数小数包括无限不循环小数无限不循环小数是无理数那有理数包括无理数到底包不包括无限循环小数是有理数还是无理数无限循环小数是无理数还是有理数? 下列说法：①无理数包括正无理数、零、负无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限不循环小数；④有理数、无理数统称无限循环小数是不是无理数?