（2011•天津）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/25 19:01:30

（2011•天津）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=
OA2+OB2=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有
AD
AB＝
AM
AO＝
DM
BO，
得AM＝
AD
AB•AO＝
3
5×3＝
9
5，

∴OM=
6
5，
∴MD＝
12
5，
∴点D的坐标为（
6
5，
12
5）．

（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，

∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=
DE
OE=
3
4，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x-3，
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，
∴9=9x²+（4x-3）²，
∴x=
24
25，
∴D（
96
25，
72
25），
∴直线AD的解析式为：y=
24
7x-
72
7，

∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=-
7
24x+b，把D（
96
25，
72
25）代入得，
72
25=-
7
24×