作业帮Jacobson 基础代数I 习题1.5.7
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 09:03:53
Jacobson 基础代数I 习题1.5.7
求证:若o(a)=n=rs,其中(r,s)=1,那么与×同构,其中o(b) = r,o(c) = s.
P.S.表示a生成的循环群,o(a)表示的大小.
求证:若o(a)=n=rs,其中(r,s)=1,那么与×同构,其中o(b) = r,o(c) = s.
P.S.表示a生成的循环群,o(a)表示的大小.
其实也就是证明两个阶互素的循环群的直积也为循环群即可（阶显然是这两个群的阶的乘积）.
为此考虑×中的元素(b,c),显然(b,c)^(rs)=e为单位.
而若(b,c)的阶为a,即(b,c)^a=(b^a,c^a)=e=(e,e),且a是满足这个式子最小的正整数,
则a|rs,且r|a,s|a,那么因为r和s互素,所以rs|a,
所以a=rs
可见(b,c)的阶就是群的阶,所以这是一个循环群,所以同构于
不懂可以再问~
再问： 囧, 我似乎一直在想怎么搞一个映射, 没想到映射就是a^n |-> (b^n, c^n)...... 谢了..
再答： 嗯…… PS:只要确定生成元的对应关系，同构就确定了
为此考虑×中的元素(b,c),显然(b,c)^(rs)=e为单位.
而若(b,c)的阶为a,即(b,c)^a=(b^a,c^a)=e=(e,e),且a是满足这个式子最小的正整数,
则a|rs,且r|a,s|a,那么因为r和s互素,所以rs|a,
所以a=rs
可见(b,c)的阶就是群的阶,所以这是一个循环群,所以同构于
不懂可以再问~
再问： 囧, 我似乎一直在想怎么搞一个映射, 没想到映射就是a^n |-> (b^n, c^n)...... 谢了..
再答： 嗯…… PS:只要确定生成元的对应关系，同构就确定了