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5月23日数学19 19．三棱柱ABC-A..

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 11:13:52
5月23日数学19 19．三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在面ABC内的投影在AC上，若∠ABC=90°，且AB=2,BC=2，侧棱BB1=，且BB1与底面ABC所成的角的正弦值为，求： （1）四面体ABCC1的体积 （2）二面角B-AC1-C的平面角的余弦值
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解题思路： 根据垂足的位置，利用底面直角三角形的条件，利用垂直的定理、解三角形的知识进行证明、判断和求解。
解题过程：
三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在面ABC内的投影在AC上，若∠ABC=90°，且AB=2,BC=2，侧棱BB1=，且BB1与底面ABC所成的角的正弦值为 ，求：（1）四面体ABCC1的体积；（2）二面角B-AC1-C的平面角的余弦值.

解：(1) 设点A1在底面ABC内的射影为P，P在AC上，AP⊥平面ABC，
∵ 三棱柱所有的侧棱都平行且相等，长度都等于，
∴ 侧棱AA1、侧棱BB1与底面所成的角相等，正弦值为，
即 sin∠A1AP＝， ∴ ，，
底面Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2， 可得 其面积为 2，
∴ 四面体，即 三棱锥， 与三棱锥体积相等，
∴ 其体积为；
(2) 由 ∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2， 可得 AC＝4， ∠BAC＝60°，
由 AB＝2，AP＝1，∠BAP＝60°，可得 BP＝， 知 BP⊥AC，
由 AP⊥平面ABC， 知 AP⊥BP，
∴ BP⊥平面ACC1A1，垂足为P， 　
作PQ⊥AC1于Q， 则AC1⊥平面BPQ， ∴ ∠BQP为所求二面角的平面角，
由 sin∠A1AP＝， 知 cos∠A1AP＝， cos∠ACC1＝－，
在△ACC1中，由余弦定理得 ，
再由正弦定理，， 得 ，
∴ ，
∴ tan∠BQP＝，
从而，cos∠BQP＝， 即为所求．
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