作业帮数学达人们解一个竞赛题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 04:54:08
数学达人们解一个竞赛题
锐角△ABC内任一点P,直线AP、BP、CP分别分别交△PBC,△PCA,△PAB的外接圆于另一点A1,B1,C1(不同于P),
求证:(1＋2*PA/PA1)*(1＋2*PB/PB1)*(1＋2*PC/PC1)≥8
锐角△ABC内任一点P,直线AP、BP、CP分别分别交△PBC,△PCA,△PAB的外接圆于另一点A1,B1,C1(不同于P),
求证:(1＋2*PA/PA1)*(1＋2*PB/PB1)*(1＋2*PC/PC1)≥8
证明：
在四边形PBA1C中PA1*BC＝PB*CA1＋PC*BA1
PA1＝PB*CA1/BC＋PC*BA1/BC
在三角形A1BC中由正弦定理
PA1＝sinβ/sinα*PB＋sinγ/sinα*PC,同理有
PB1＝sinγ/sinβ*PC＋sinα/sinβ*PA
PC1＝sinα/sinγ*PA＋sinβ/sinγ*PB
联立方程组解得
2*PA＝sinβ/sinα*PB1＋sinγ/sinα*PC1－PA1
2*PB＝sinγ/sinβ*PC1＋sinα/sinβ*PA1－PB1
2*PC＝sinα/sinγ*PA1＋sinβ/sinγ*PB1－PC1
于是2*PA＋PA1＝sinβ/sinα*PB1＋sinγ/sinα*PC1≥2√(sinβ/sinα*PB1*sinγ/sinα*PC1)
2*PB＋PB1＝sinγ/sinβ*PC1＋sinα/sinβ*PA1≥2√(sinγ/sinβ*PC1*sinα/sinβ*PA1)
2*PC＋PC1＝sinα/sinγ*PA1＋sinβ/sinγ*PB1≥2√(sinα/sinγ*PA1*sinβ/sinγ*PB1)
相乘即得
(1＋2*PA/PA1)*(1＋2*PB/PB1)*(1＋2*PC/PC1)≥8
不好意思了!网上搜索来的.供参考吧,我自己做不出来哦!
在四边形PBA1C中PA1*BC＝PB*CA1＋PC*BA1
PA1＝PB*CA1/BC＋PC*BA1/BC
在三角形A1BC中由正弦定理
PA1＝sinβ/sinα*PB＋sinγ/sinα*PC,同理有
PB1＝sinγ/sinβ*PC＋sinα/sinβ*PA
PC1＝sinα/sinγ*PA＋sinβ/sinγ*PB
联立方程组解得
2*PA＝sinβ/sinα*PB1＋sinγ/sinα*PC1－PA1
2*PB＝sinγ/sinβ*PC1＋sinα/sinβ*PA1－PB1
2*PC＝sinα/sinγ*PA1＋sinβ/sinγ*PB1－PC1
于是2*PA＋PA1＝sinβ/sinα*PB1＋sinγ/sinα*PC1≥2√(sinβ/sinα*PB1*sinγ/sinα*PC1)
2*PB＋PB1＝sinγ/sinβ*PC1＋sinα/sinβ*PA1≥2√(sinγ/sinβ*PC1*sinα/sinβ*PA1)
2*PC＋PC1＝sinα/sinγ*PA1＋sinβ/sinγ*PB1≥2√(sinα/sinγ*PA1*sinβ/sinγ*PB1)
相乘即得
(1＋2*PA/PA1)*(1＋2*PB/PB1)*(1＋2*PC/PC1)≥8
不好意思了!网上搜索来的.供参考吧,我自己做不出来哦!