作业帮一道曲线定积分求弧长的题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 16:08:40
一道曲线定积分求弧长的题.
y= （积分区域0到x）tant dt (0≤x≤π/4) 的弧长s=
弧长公式 不是 s=（积分区域0到π/4) 根号下（y²+y'²）dx吗?
y=∫ tant dt =-ln cosπ/4 + lncos0 =-ln根号2/2 这一步哪里错了?
s=∫ 根号下（y²+y'²）dx
=∫根号下
y= （积分区域0到x）tant dt (0≤x≤π/4) 的弧长s=
弧长公式 不是 s=（积分区域0到π/4) 根号下（y²+y'²）dx吗?
y=∫ tant dt =-ln cosπ/4 + lncos0 =-ln根号2/2 这一步哪里错了?
s=∫ 根号下（y²+y'²）dx
=∫根号下
你犯得好象不是一个错误,首先弧长公式错了,另外这个题也不是对tanx积分
y'=tanx （这个是变上限积分的求导）
弧长公式为：
s=∫[0→π/4] √(1+y'²) dx
=∫[0→π/4] √(1+tan²x) dx
=∫[0→π/4] √sec²x dx
=∫[0→π/4] secx dx
=ln|secx + tanx| |[0→π/4]
=ln(√2+1)-ln1
=ln(√2+1)
【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
再问： √(1+y'²) dx 这个是弧长公式吗？ 曲率公式 K= |y''| / (1+y' ²) 3/2次方 这个是曲率公式吧？ 还有想请教，为什么只要一结合图像的，我就不行了。但是计算，比如求极限，求导，求积分。都很在行。 我怎么才能学好 微积分的几何应用？
再答： √(1+y'²) dx 叫做弧微分公式，弧长公式是要把积分号加上的。 其实弧长和曲率的问题多数情况下不需要结合图形的，我想你不熟的原因还是这类题做得少的缘固。比如这道考研真题，其实你只要明白y=f(x)是一条曲线，然后套公式∫[a→b] √(1+y'²) dx就是可以求出曲线弧长的，不过考研题稍微绕了个弯，给你的y=f(x)不是一个我们常见的函数，而是一个变上限积分的函数，你只要把它当作一个普通函数来求导就会做了。 我相信如果单独给你一个y=∫[0→x] tant dt，让你求导，你肯定会做。单独给你一个y=x^(3/2)，让你求曲线弧长，你肯定也会。这个题不过是把这两个知识点结合起来一块考了。这是考研题的特点，一般来说一个题不可能只考一个知识点的。 因此关键还是基础要扎实，基础扎实了，拿到这个题迅速就可以把它拆为两个简单题，一个变上限积分求导，一个求曲线弧长，马上就解决了。关于几何的运用也是一样，重要的是能不能把一个较难的题拆为若干个简单题，能拆开就没有问题了。
y'=tanx （这个是变上限积分的求导）
弧长公式为：
s=∫[0→π/4] √(1+y'²) dx
=∫[0→π/4] √(1+tan²x) dx
=∫[0→π/4] √sec²x dx
=∫[0→π/4] secx dx
=ln|secx + tanx| |[0→π/4]
=ln(√2+1)-ln1
=ln(√2+1)
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再问： √(1+y'²) dx 这个是弧长公式吗？ 曲率公式 K= |y''| / (1+y' ²) 3/2次方 这个是曲率公式吧？ 还有想请教，为什么只要一结合图像的，我就不行了。但是计算，比如求极限，求导，求积分。都很在行。 我怎么才能学好 微积分的几何应用？
再答： √(1+y'²) dx 叫做弧微分公式，弧长公式是要把积分号加上的。 其实弧长和曲率的问题多数情况下不需要结合图形的，我想你不熟的原因还是这类题做得少的缘固。比如这道考研真题，其实你只要明白y=f(x)是一条曲线，然后套公式∫[a→b] √(1+y'²) dx就是可以求出曲线弧长的，不过考研题稍微绕了个弯，给你的y=f(x)不是一个我们常见的函数，而是一个变上限积分的函数，你只要把它当作一个普通函数来求导就会做了。 我相信如果单独给你一个y=∫[0→x] tant dt，让你求导，你肯定会做。单独给你一个y=x^(3/2)，让你求曲线弧长，你肯定也会。这个题不过是把这两个知识点结合起来一块考了。这是考研题的特点，一般来说一个题不可能只考一个知识点的。 因此关键还是基础要扎实，基础扎实了，拿到这个题迅速就可以把它拆为两个简单题，一个变上限积分求导，一个求曲线弧长，马上就解决了。关于几何的运用也是一样，重要的是能不能把一个较难的题拆为若干个简单题，能拆开就没有问题了。