作业帮一道定积分的题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 13:57:41
一道定积分的题
答：
用凑微分法：
不定积分：
∫(xe^-x)/(1+e^-x)^2 dx
=x/(1+e^-x) - ∫1/(1+e^-x)dx
=x/(1+e^-x) -∫1-[e^-x/(1+e^-x)] dx
=x/(1+e^-x)-x-ln(1+e^-x)+C
=(-xe^-x)/(1+e^-x)-ln(1+e^-x)+C
所以定积分
∫(0到+∞) (xe^-x)/(1+e^-x)^2 dx
=[(-xe^-x)/(1+e^-x)-ln(1+e^-x)] |(0到b,b→+∞)
=0-ln1+ln(1+1)
=ln2
用凑微分法：
不定积分：
∫(xe^-x)/(1+e^-x)^2 dx
=x/(1+e^-x) - ∫1/(1+e^-x)dx
=x/(1+e^-x) -∫1-[e^-x/(1+e^-x)] dx
=x/(1+e^-x)-x-ln(1+e^-x)+C
=(-xe^-x)/(1+e^-x)-ln(1+e^-x)+C
所以定积分
∫(0到+∞) (xe^-x)/(1+e^-x)^2 dx
=[(-xe^-x)/(1+e^-x)-ln(1+e^-x)] |(0到b,b→+∞)
=0-ln1+ln(1+1)
=ln2