如图，抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）。点C是点A关于点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:59:09

如图，抛物线y=ax² +bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=-x+m过点C，交y轴于D点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标。

（1）∵抛物线交轴于点A（-3，0），点B（1，0），
∴设抛物线的函数表达式为

，
又∵抛物线交y轴于点E（0，-3），
将（0，-3）代入上式，得a=1，
∴抛物线的函数表达式为

，即

；
（2）∵点C是点A（-3，0）关于点B（1，0）的对称点，
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），
则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t² +2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t² +2t-3）=-t² -3t+8=-

，
∵-3＜-

＜1，
∴当t=-

时，线段HG的长度有最大值

；
（3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n² +2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8，
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，
由点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，
取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0），
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x² +2x-3，得y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
综上所述，当点N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

如图,抛物线y=ax^2+bx=c交x轴于点A（-3,0）点B（1,0）,交Y轴于点E（0,3）.点C是点A关于点B的对如图2,已知抛物线y=ax^2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A（1,0）和点B（-3,0）,与y轴交于点C. 如图①,已知抛物线y=ax*2+bx+3(a≠0）与x轴交于点A（1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C. （2011•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的如图,抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A(-3.0),点B(1.0),交y轴于点E(0.-3).点C是点A 如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,0）,C 如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）如图,抛物线y=ax平方+bx+c交x轴于a、b两点,交y轴于点c,对称轴为直线x=1,a点坐标为（-1,0）求b点坐标如图,抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A、B,直线l交抛物线于点A、C,A（1,0）C（4,3）. 如图，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．如图,已知抛物线y=ax平方+bx+3(a不等于0）与x轴交于点A(1,0)B(-3,0)与y轴交于点C 求此抛物线的解