如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 08:15:28

如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）
∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1
∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），
即y=x²+2x-3；
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t²+2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+
3
2）²+
41
4，
∵-3＜-
3
2＜1，
∴当t=-
3
2时，线段HG的长度有最大值
41
4；
（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n²+2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
过点N作直线NM交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

（2011•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,0）,C 如图，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．如图,抛物线y=ax^2+bx=c交x轴于点A（-3,0）点B（1,0）,交Y轴于点E（0,3）.点C是点A关于点B的对如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（-3，2），与x轴相交于点C（-2，0），过点C画CB⊥AC交y轴于点B，连（2012•深圳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,D两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点B在第一象限,若点A的坐标为（1,0）如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C（0,-3）,对称轴是直线x= 一道关于函数的证明题抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B与y轴交于点C,直线y=x-1与抛物线交于点D、E,已知如图1,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4）,交x轴于A,B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标3.0