（2014•苏州高新区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 12:54:28

（2014•苏州高新区一模）如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC=90°．
（1）求该二次函数解析式；
（2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连结AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵∠BAC=90°，∠AOC=90°，
∴由射影定理可得出：OA²=OB•OC，
由题意知：OA=4，OC=8，
∴4²=OB•8，
∴OB=2，
∴B（-2，0），
将A、B、C三点坐标代入即得：

c＝4
4a−2b+c＝0
64a+8b+c＝0，
解得：

a＝−
1
4
b＝
3
2
c＝4，

∴抛物线解析式为：y=-
1
4x²+
3
2x+4；

（2）设N（n，0），则BN=n+2，BA=10，
∵NE∥AC，
∴△BNE∽△BAC，
∴
S△BEN
S△BAC=（
BN
BC）²，
∵S_△BAC=
1
2×10×4=20，
∴
S△BEN
20=（
n+2
10）²，
S_△BEN=
1
5（n+2）²，
∵S_△BAN=
1
2×（n+2）×4=2n+4，
∴S_△ANE=（2n+4）-
1
5（n+2）²=-
1
5（n-3）²+5，
∵a=-
1
5，
∴当n=3时，最大值S_△ANE=5，
此时N的坐标为：（3，0）；

（3）设直线AC对应的函数解析式为：y=kx+b，
则

b＝4
8k+b＝0，
解得：

k＝−
1
2
b＝4，

∴直线AC对应的函数解析式为：y=-
1
2x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，-
1
4m²+
3
2m+4），则Q（m，-
1
2m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ=（-
1
4m²+
3
2m+4）-（-
1
2m+4）=-
1
4m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=
1
2×8×（-
1
4m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②当-2＜m＜0时，
PQ=（-
1
2m+4）-（-
1
4m²+
3
2m+4）=
1
4m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=
1
2×8×（
1
4m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4
2这两个．
故当S=16时，相应的点P有且只有两个．

（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，（2014•红桥区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0），与y轴交于点C．（2012•工业园区一模）如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B, 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC 如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（-2，0），点B在x轴的已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解（2013•滨湖区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A（-5，0），交y轴于点B，过点