判断函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上的单调性,给出证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 10:07:30
判断函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上的单调性,给出证明
函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
证明:设-1<a<b<1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1<x<1∴ ab+1>0 a^2-1<0 b-a<0
∴ (ab+1)(b-a)>0 (a^2-1)(b^2-1)
>0
∴f(a)>f(b) ∵a<b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
证明:设-1<a<b<1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1<x<1∴ ab+1>0 a^2-1<0 b-a<0
∴ (ab+1)(b-a)>0 (a^2-1)(b^2-1)
>0
∴f(a)>f(b) ∵a<b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
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