作业帮一道简单的矩阵练习题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 17:09:50
一道简单的矩阵练习题,
矩阵A[ 1 ,0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换,确定a b c d之间的关系,并写出矩阵M
[ 2,-1] [ c,d]
另外想问下一个矩阵 2*3 ,它会有矩阵倒数吗
矩阵A[ 1 ,0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换,确定a b c d之间的关系,并写出矩阵M
[ 2,-1] [ c,d]
另外想问下一个矩阵 2*3 ,它会有矩阵倒数吗
直接代入AM=MA,
( a b ) = ( a+2b c+2d )
( 2a-c 2b-d ) ( -b -d ),
于是b=0,c+2d=2a-c=0,d=-a,c=2a,所以
( 1 0 )
M=a ( 2 -1) =aA.
不是方阵的矩阵也可以有“逆”.一个比较典型的“逆”是Moore-Penrose逆（Moore-Penrose Pseudoinverse,之所以有Pseudo,我觉得是因为它和方阵的逆还不完全兼容,在方阵本身不可逆的情况下,它也是存在的）.矩阵A如果是m*n的,那么它的Moore-Penrose逆B是n*m的,同时满足：
(1)ABA=A；
(2)BAB=B；
(3)(AB)^* = AB； //其中A^*指的是A的共轭转置,
(4)(BA)^* = BA.//对于实矩阵来讲共轭转置就是转置
容易看出,如果A是方阵,那么A的Moore-Penrose逆是唯一的,就是它的逆.即使A不是方阵,它的Moore-Penrose逆也是唯一的.另外如果取两次Moore-Penrose逆那么会变回原来的矩阵,也就是,A的逆的逆是A.
关于更多的内容,可以到Wiki上搜一下Moore-Penrose Pseudoinverse,我本想把链接放到参考资料那栏的,但是百度不许.有些代数教材（比如丘维声的《高等代数》,我看过第一版,是涉及代数周边的东西比较多一点的）中也有些内容（或者习题）可以参考.
( a b ) = ( a+2b c+2d )
( 2a-c 2b-d ) ( -b -d ),
于是b=0,c+2d=2a-c=0,d=-a,c=2a,所以
( 1 0 )
M=a ( 2 -1) =aA.
不是方阵的矩阵也可以有“逆”.一个比较典型的“逆”是Moore-Penrose逆（Moore-Penrose Pseudoinverse,之所以有Pseudo,我觉得是因为它和方阵的逆还不完全兼容,在方阵本身不可逆的情况下,它也是存在的）.矩阵A如果是m*n的,那么它的Moore-Penrose逆B是n*m的,同时满足：
(1)ABA=A；
(2)BAB=B；
(3)(AB)^* = AB； //其中A^*指的是A的共轭转置,
(4)(BA)^* = BA.//对于实矩阵来讲共轭转置就是转置
容易看出,如果A是方阵,那么A的Moore-Penrose逆是唯一的,就是它的逆.即使A不是方阵,它的Moore-Penrose逆也是唯一的.另外如果取两次Moore-Penrose逆那么会变回原来的矩阵,也就是,A的逆的逆是A.
关于更多的内容,可以到Wiki上搜一下Moore-Penrose Pseudoinverse,我本想把链接放到参考资料那栏的,但是百度不许.有些代数教材（比如丘维声的《高等代数》,我看过第一版,是涉及代数周边的东西比较多一点的）中也有些内容（或者习题）可以参考.