有理系数三次方程的根可用尺规作图的充要条件是它有有理根
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/18 00:17:13
有理系数三次方程的根可用尺规作图的充要条件是它有有理根
为什么?
转化为2次方程后,知点的坐标只能由方程系数之间加减乘除和正实数开方所得,可系数也可能是开三次根的无理数,尺规作图可以随便画圆,怎么知道那个圆一定没无理数呢
为什么这些线段都可以用尺规作图做出来,可以找到规律并证明吗
为什么?
转化为2次方程后,知点的坐标只能由方程系数之间加减乘除和正实数开方所得,可系数也可能是开三次根的无理数,尺规作图可以随便画圆,怎么知道那个圆一定没无理数呢
为什么这些线段都可以用尺规作图做出来,可以找到规律并证明吗
将该方程变成首项为1的方程不改变其x^3+ax^2+bx+c=0,a,b,c是有理数.
充分性:
如果它有有理根,那么该方程可变为(x-r)(x^2+px+q)=0,r为有理数;于是问题转化为二次方程的解的作图问题.
由于原方程是有理系数三次方程,所以p和q必然是有理数(否则会发生有理数*有理数=无理数的矛盾),从而根据求根公式,至多会出现√(p^2-4q)的这个根式,这个根式必然可通过尺规作出.作法如下:
1、由于单位长度已知,所以可以做出长为q+1和q-1的线段.
2、构造直角三角形,使得斜边长为q+1,一直角边长q-1,这时另一直角边为2√q.
3、构造直角三角形,使得斜边长为p,一直角边为2√q,这时另一直角边为√(p^2-4q).
ok,做出来了.
√p的做法不是一样的么?斜边长为(p+1)/2,一直角边长(p-1)/2的直角三角形就行了
只要是只含有2^n次根号的线段都可以做出来(根号内幂次数不够的话意味着乘以单位线段),证明参见抽象代数的课本.
必要性:
必须学抽象代数之后才能弄清楚,无法在此说明白.
充分性:
如果它有有理根,那么该方程可变为(x-r)(x^2+px+q)=0,r为有理数;于是问题转化为二次方程的解的作图问题.
由于原方程是有理系数三次方程,所以p和q必然是有理数(否则会发生有理数*有理数=无理数的矛盾),从而根据求根公式,至多会出现√(p^2-4q)的这个根式,这个根式必然可通过尺规作出.作法如下:
1、由于单位长度已知,所以可以做出长为q+1和q-1的线段.
2、构造直角三角形,使得斜边长为q+1,一直角边长q-1,这时另一直角边为2√q.
3、构造直角三角形,使得斜边长为p,一直角边为2√q,这时另一直角边为√(p^2-4q).
ok,做出来了.
√p的做法不是一样的么?斜边长为(p+1)/2,一直角边长(p-1)/2的直角三角形就行了
只要是只含有2^n次根号的线段都可以做出来(根号内幂次数不够的话意味着乘以单位线段),证明参见抽象代数的课本.
必要性:
必须学抽象代数之后才能弄清楚,无法在此说明白.
整系数多项式的有理根
一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.
有理系数多项式的根该怎样求啊?
多项式的有理根是什么意思?
设a为任意有理数,b为何值时有理系数方程有有理根
数学一元二次函数有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是:b2-4ac是完全平方式 方程有有理数根.
已知:(根号5)-2分之(根号5)+2是有理系数的一元二次方程ax^2+bx+c的一个根,试求这个方程
已知(根号3-根号2)/(根号3+根号2)是有理系数一元二次方程的一个解,问此方程的另一个根是什么?
多项式有理根的一个问题
求下列多项式的有理根:
观察以下有理系数的一元二次方程式的根的特点
求证:若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数.