作业帮求证2007^2007+2009^2009能被4016整除
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 11:40:39
求证2007^2007+2009^2009能被4016整除
如题,最好能用初一以前的知识来回答,谢谢啦~~急
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以上说法是错误的：一个数是2的倍数,也是2008的倍数,故而是4016的倍数.
反例：2008是2的倍数,也是2008的倍数,但不是4016的倍数.
一个数是16的倍数,也是2008的倍数,故而是4016的倍数
原理：
一个数被a整除,也被b整除,则被a,b的最小公倍数整除.而4016是16和2008的最小公倍数.
先证它被2008整除：
2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2009
易见它对2008的余数为(-1)^2007+(1)^2009=0,即被2008整除.
再看它对16的余数,和以下数对16的余数相等：
7^2007+(-7)^2009=7^2007(1-49)＝7^2007*(-48),显然余数为0.
反例：2008是2的倍数,也是2008的倍数,但不是4016的倍数.
一个数是16的倍数,也是2008的倍数,故而是4016的倍数
原理：
一个数被a整除,也被b整除,则被a,b的最小公倍数整除.而4016是16和2008的最小公倍数.
先证它被2008整除：
2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2009
易见它对2008的余数为(-1)^2007+(1)^2009=0,即被2008整除.
再看它对16的余数,和以下数对16的余数相等：
7^2007+(-7)^2009=7^2007(1-49)＝7^2007*(-48),显然余数为0.
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