作业帮看看这个四色定理证明错在那里!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/09 05:15:16
看看这个四色定理证明错在那里!
四色定理：将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字,即至多存在四个两两相邻的区域.
证明：
假设：任意多个相邻区域的组合区域中,不存在任何内部区域.
给定区域A、B,且A、B相邻,因为A、B间不存在内部区域,则A、B必然相交于一条曲线,曲线端点为a、b.外部两条为曲线aAb、aBb将相邻区域A,B围成一个组合区域,视为X.
任意第三个区域C与A、B两两相邻,则必然与X相邻,同理C与X只相交于曲线a1b1,产生曲线的端点为a1,b1.
若a1、b1同时在aAb或aBb其中一条曲线上,则有两种情况：
1、区域C只与A,B其中一个区域相交
2、区域C与其中一个区域的组合区域包含另一个区域,与假设矛盾.
所以a1,b1必然分别在aAb,aBb两条曲线上,则区域C必将与X相交于曲线a1a b1或a1b b1,即相交曲线包含a或b点.
令A、B、C三个区域组成的组合区域为Y.
任意区域D,与A、B、C三个区域两两相邻,如上图,则D必将与Y相邻,由上述证明可知,则D与Y的相交曲线必将至少包括a、a1、b1中的两点,无论是那两点,则D必将与A、B、C其中某两个区域包含第三个区域,即必将有一个区域成为内部区域,与假设矛盾.
即得出结论一,四个两两相邻的区域中至少有一个区域属于内部区域.
因为内部区域与外部区域无法相邻,所以不存在一个外部区域E,使得A、B、C、D、E五个区域两两相邻.（结论二）
假设,存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为A、B、C、D、F中,至少有一个是外部区域.以A为例,A为外部区域,因为A与其他四个区域两两相邻,则A必然与四个区域分别相交于至少一条曲线.
若将A移除,则另外四个区域分别与A相交的曲线就与外界相通,即四个区域都变为外部区域,而四个区域又是两两相邻的,与结论一相悖.
即得出结论三,不存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为平面中,除了内部区域都是外部区域,所以通过结论二和结论三得出结论四,即不存在一个区域G,使得A、B、C、D、G五个区域两两相邻.即至多存在四个两两相邻的区域.
四色定理得证!
内部区域：即完全包含于其它区域的区域.
外部区域：存在边际曲线不包含于任何其它区域的区域.
组合区域：有两个或多个区域共同覆盖的区域.
二楼说的不是已经证了吗?
四楼说的貌似两个问题就是一个问题呀,四个两两相邻 四色定理完全一样吗!
四色定理：将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字,即至多存在四个两两相邻的区域.
证明：
假设：任意多个相邻区域的组合区域中,不存在任何内部区域.
给定区域A、B,且A、B相邻,因为A、B间不存在内部区域,则A、B必然相交于一条曲线,曲线端点为a、b.外部两条为曲线aAb、aBb将相邻区域A,B围成一个组合区域,视为X.
任意第三个区域C与A、B两两相邻,则必然与X相邻,同理C与X只相交于曲线a1b1,产生曲线的端点为a1,b1.
若a1、b1同时在aAb或aBb其中一条曲线上,则有两种情况：
1、区域C只与A,B其中一个区域相交
2、区域C与其中一个区域的组合区域包含另一个区域,与假设矛盾.
所以a1,b1必然分别在aAb,aBb两条曲线上,则区域C必将与X相交于曲线a1a b1或a1b b1,即相交曲线包含a或b点.
令A、B、C三个区域组成的组合区域为Y.
任意区域D,与A、B、C三个区域两两相邻,如上图,则D必将与Y相邻,由上述证明可知,则D与Y的相交曲线必将至少包括a、a1、b1中的两点,无论是那两点,则D必将与A、B、C其中某两个区域包含第三个区域,即必将有一个区域成为内部区域,与假设矛盾.
即得出结论一,四个两两相邻的区域中至少有一个区域属于内部区域.
因为内部区域与外部区域无法相邻,所以不存在一个外部区域E,使得A、B、C、D、E五个区域两两相邻.（结论二）
假设,存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为A、B、C、D、F中,至少有一个是外部区域.以A为例,A为外部区域,因为A与其他四个区域两两相邻,则A必然与四个区域分别相交于至少一条曲线.
若将A移除,则另外四个区域分别与A相交的曲线就与外界相通,即四个区域都变为外部区域,而四个区域又是两两相邻的,与结论一相悖.
即得出结论三,不存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为平面中,除了内部区域都是外部区域,所以通过结论二和结论三得出结论四,即不存在一个区域G,使得A、B、C、D、G五个区域两两相邻.即至多存在四个两两相邻的区域.
四色定理得证!
内部区域：即完全包含于其它区域的区域.
外部区域：存在边际曲线不包含于任何其它区域的区域.
组合区域：有两个或多个区域共同覆盖的区域.
二楼说的不是已经证了吗?
四楼说的貌似两个问题就是一个问题呀,四个两两相邻 四色定理完全一样吗!
你的问题我已经给你解决了,你得到的结论是在平面地图上不存在5个互相相邻的国家,从而得到4色定理,实际上人们早已发现了这一事实,这并不是你才发出现的,就是人们发现了你现在才发现的事实,才有了4色猜想,如果在平面地图上可以构造出5个互相相邻的国家,4色猜想早就推翻了,也不会有现在这个著名的猜想了,我已告诉了你你的结论仅是必要条件,不是充分条件,我问你没有5个互相相邻的国家,就一定能推出4色定理吗?你的逻辑依据在哪里?不要说4色定理,5色定理都证不出来,早就有人构造出没有4个国家互相相邻的平面地图,但仍然需要4种颜色正常着色.
再说一遍,你得的结论是100前已有的结论,你的结论写在任何一本图论的教科书中,你如果需要我用欧拉定理立刻给你证出,但它推不出4色定理,它仅是必要条件,我为了省事,想在网上找一些资料让你看看,没想到立即发现了另一个同你一样的所谓证明,和你犯同一样的错误.
显然对任意一个具有个n结点的完全图G,对其结点着色,且相邻的结点着不同的颜色,至少需要n种颜色,否则必有两个结点着同一种颜色,而完全图的任意两个结点必相邻,这样相邻结点着同一种颜色,另一方面,n>4个结点的完全图不能嵌入一个平面内,如果能嵌入一个平面内,那么一开始就推翻了4色猜想.
上面最后的一段话是引用一本书上的.下面构造出没有3个国家互相相邻的平面地图,但仍然需要3种颜色才能正常着色的例子.
再说一遍,你得的结论是100前已有的结论,你的结论写在任何一本图论的教科书中,你如果需要我用欧拉定理立刻给你证出,但它推不出4色定理,它仅是必要条件,我为了省事,想在网上找一些资料让你看看,没想到立即发现了另一个同你一样的所谓证明,和你犯同一样的错误.
显然对任意一个具有个n结点的完全图G,对其结点着色,且相邻的结点着不同的颜色,至少需要n种颜色,否则必有两个结点着同一种颜色,而完全图的任意两个结点必相邻,这样相邻结点着同一种颜色,另一方面,n>4个结点的完全图不能嵌入一个平面内,如果能嵌入一个平面内,那么一开始就推翻了4色猜想.
上面最后的一段话是引用一本书上的.下面构造出没有3个国家互相相邻的平面地图,但仍然需要3种颜色才能正常着色的例子.