证明:若实数x,y满足方程x^2-3y^2=2,则x,y不能都是有理数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 10:33:48
证明:若实数x,y满足方程x^2-3y^2=2,则x,y不能都是有理数.
假设x和y都是有理数.设x=a/b,y=c/d,ab,cd分别互质.x²=2+3y²,那么a²=b²(2d²+c²)/d²,显然左侧是一个整数而且不能与b有任何质因子的重合,因而b²必须和d²中的质因子消去,b²丨d²,同理亦可以分析得到d²丨b²,所以b²=d².所以这时可以化简整理原式得到新的方程a²-3c²=2b².其中abc都是整数.甚至不是一般性可以假设abc都是非负整数.由于我们知道从模8来看完全平方数只能余0或1或4,因而可以针对等式两侧的可能性进行分析.首先ac同奇偶,因为右侧必然是偶数,如果a和c都是偶数,那么左侧模8余0.右侧亦如是,显然此刻b²只能模8余0或余4,不然余1等式不成立.那此时ab都是偶数,不互质,矛盾已出现.若ac同时为奇数,仍然考虑模8运算,左侧模8余1-3=-2=6,而右侧只能是0或2,因而根本无法成立.所以假设推翻,原方程无有理数解.
补:关于完全平方数模8的问题.整数分奇数和偶数讨论.如果是偶数,(2k)²=4k²,k亦无非奇偶两种,模8分别得到4或0.若奇数,(2k+1)²=4(k+1)k+1,注意到k(k+1)本身可以被2整除,则4k(k+1)可以被8整除,因而整个平方数模8余1.
补:关于完全平方数模8的问题.整数分奇数和偶数讨论.如果是偶数,(2k)²=4k²,k亦无非奇偶两种,模8分别得到4或0.若奇数,(2k+1)²=4(k+1)k+1,注意到k(k+1)本身可以被2整除,则4k(k+1)可以被8整除,因而整个平方数模8余1.
设x,y都是有理数,且满足方程:2x+根号3y=-6y-x/2根号3+20求x与的y值.
设x,y都是有理数,且满足方程2x+根号3y=-6y-0.5x根号3+20,求x,y的值
设x,y都是有理数,且满足方程2+根号3y=-6y-0.5x根号3,求x,y的值
y都是有理数,且满足方程2x+根号3y=-6y-0.5x根号3+20,求x,y的值
设x,y都是有理数,且满足方程:2x+根号3y=-6y-2分之x根号3+20
设x.y都是有理数,且满足方程(1/2+派/3)x+(1/3+派/2)y-4-派=0,那么x-y的值是多少?
设x.y都是有理数,且满足方程(1/2+π/3)x+(1/3+π/2)y-4-π=0,那么x-y的值是多少?
设x,y都是有理数,且满足方程(1/2+π /3)x+(1/3+π/2)y-4-π=o,求x,y的值.
设X、Y都是有理数,且满足方程(1/2+a/3)x+(1/3+a/2)y-4-a=0,那么x-y 的值是?
设实数x、y满足方程2x²+3y²=6y,求x+y的最大值
若实数x,y满足{2x-y>=0,
若正实数x.y满足x+y=xy,则x+2y的最小值