作业帮一道用重积分计算物体质心的问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 03:21:37
一道用重积分计算物体质心的问题.
已知有一均匀半圆薄片,半径为a,放在第一、2中.现在以b为半径,原点为圆心截去半圆,求质心的y坐标（薄片面密度为1）.
补充：我算出的结果为2*(a^3-b^3)/[ (a^2-b^2)*3].但当b趋近于0时质心纵坐标并不趋近于
第一行的是一、二象限。
补充的是b趋近于0时质心纵坐标不趋近于圆盘质心纵坐标4a/3π。正确过程是什么？
已知有一均匀半圆薄片,半径为a,放在第一、2中.现在以b为半径,原点为圆心截去半圆,求质心的y坐标（薄片面密度为1）.
补充：我算出的结果为2*(a^3-b^3)/[ (a^2-b^2)*3].但当b趋近于0时质心纵坐标并不趋近于
第一行的是一、二象限。
补充的是b趋近于0时质心纵坐标不趋近于圆盘质心纵坐标4a/3π。正确过程是什么？
是一个半径为b的半圆截去另一个半径为a的半圆吗?
半圆形心公式（到直径的距离）x=4r/(3π),我就不算了,用二重积分就可以算.
所以用负面积法,负面积法也是从二重积分的公式中很容易得出.
xc=[πa^2*4a/(3π)-(πb^2)*4b/(3π)]/(πa^2-πb^2)
=4/(3π)*(a^3-b^3)/(a^2-b^2)
=4/(3π)*(a^2+b^2+ab)/(a+b)
b趋近0,还是4a/(3π)
你问的是b趋近a吧,这样为半圆环,为2a/(π)
再问： 可以解释一下负面积法吗？你的结果和我算的只差2/π。
再答： 形心计算基本公式本来就是 xc=∑Aixi/∑Ai，yc=∑Aiyi/∑Ai Ai代表每一块的面积，减去的部分算负 xi、yi代表每一块面积的形心坐标 如果Ai为无穷小，则转化为积分运算 xc=∫∫xdxdy/∫∫dxdy，yc=∫∫ydxdy/∫∫dxdy 负面积，A为实际图形面积，A正为大图形面积，A负为要减去的图形面积 因为Axc+A负x负=A正x正，这点很明显 所以xc=(A正x正-A负x负)/A 因为减去的部分可以算作负面积
半圆形心公式（到直径的距离）x=4r/(3π),我就不算了,用二重积分就可以算.
所以用负面积法,负面积法也是从二重积分的公式中很容易得出.
xc=[πa^2*4a/(3π)-(πb^2)*4b/(3π)]/(πa^2-πb^2)
=4/(3π)*(a^3-b^3)/(a^2-b^2)
=4/(3π)*(a^2+b^2+ab)/(a+b)
b趋近0,还是4a/(3π)
你问的是b趋近a吧,这样为半圆环,为2a/(π)
再问： 可以解释一下负面积法吗？你的结果和我算的只差2/π。
再答： 形心计算基本公式本来就是 xc=∑Aixi/∑Ai，yc=∑Aiyi/∑Ai Ai代表每一块的面积，减去的部分算负 xi、yi代表每一块面积的形心坐标 如果Ai为无穷小，则转化为积分运算 xc=∫∫xdxdy/∫∫dxdy，yc=∫∫ydxdy/∫∫dxdy 负面积，A为实际图形面积，A正为大图形面积，A负为要减去的图形面积 因为Axc+A负x负=A正x正，这点很明显 所以xc=(A正x正-A负x负)/A 因为减去的部分可以算作负面积