作业帮求教（双曲线）高中数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 04:05:48
求教（双曲线）高中数学题
已知点F1,F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,若|PF2|^2/|PF1|的最小值为9a,则双曲线的离心率为（）
A.2 B.5 C.3 D.2或5
已知点F1,F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,若|PF2|^2/|PF1|的最小值为9a,则双曲线的离心率为（）
A.2 B.5 C.3 D.2或5
e＝5 应选B
设|PF2|＝m,|PF1|＝n,则m－n=2a
PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n
＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a)
若最小值9a,不能均值不等式,只能利用单调性,当n＝c－a时取最小,代入
得,e＝2或5,但e＝2时,c＝2a,n≧c－a＝a
上式不在n＝c－a＝a处取最小,而在2a处取最小（由均值不等式）故舍去
再问： 怎么算的
再答： 设|PF2|＝m， |PF1|＝n，则m－n=2a PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n ＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a) 若最小值9a，不能均值不等式，只能利用单调性，此时c－a≥2a，得c≥3a，e≥3 当n＝c－a时取最小，代入 得，e＝2或5，但e＝2时，舍去 故只能有e＝5
设|PF2|＝m,|PF1|＝n,则m－n=2a
PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n
＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a)
若最小值9a,不能均值不等式,只能利用单调性,当n＝c－a时取最小,代入
得,e＝2或5,但e＝2时,c＝2a,n≧c－a＝a
上式不在n＝c－a＝a处取最小,而在2a处取最小（由均值不等式）故舍去
再问： 怎么算的
再答： 设|PF2|＝m， |PF1|＝n，则m－n=2a PF2|^2/|PF1|＝m²／n=(n+2a)²／n＝(4a²＋4an＋n²)／n ＝4a²／n＋n＋4a (n≧c－a) 若最小值9a，不能均值不等式，只能利用单调性，此时c－a≥2a，得c≥3a，e≥3 当n＝c－a时取最小，代入 得，e＝2或5，但e＝2时，舍去 故只能有e＝5