(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2 求证x/a=y/b=z/c

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:29:31

设这就是苛西不等式的特例：
证明如下：
设：f(t)=(x^2+y^2+z^2)t^2+2(ax+by+cz)t+(a^2+b^2+c^2)
deta=4(ax+by+cz)^2-4(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)
由于(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2
所以deta=0
方程：f(t)=0 有且只有一个实根.
整理：f(t)=(x^2+y^2+z^2)t^2+2(ax+by+cz)t+(a^2+b^2+c^2)=0
f(t)=(xt+a)^2+(yt+b)^2+(zt+c)^2=0
由于三个非负数相加为零,所以肯定三个都为0,
当三个都等于0时,则f(t)=0
当：xt+a=0 yt+b=0 zt+c=0时
f(t)=0 t=-a/x=-b/y=-c/z
所以：x/a=y/b=z/c
再问：有没有初中知识做的？？？？？？？？
再答：这就是初三的知识回答的。 ax^2+bx+c=0 当deta=b^2-4ac=0时，有且只有一个解。当然，也有麻烦的做法：因为：(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2) =(ax)^2+(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(by)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2+(cz)^2 而：(ax+by+cz)^2=(ax)^2+(by)^2+(cz)^2+2abxy+2acxz+2bcyz 则有：(bx)^2+(cx)^2+(ay)^2+(cy)^2+(az)^2+(bz)^2=2abxy+2acxz+2bcyz (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0 固：ay=bx,az=cx,bz=cy 所以：x/a=y/b=z/c

．已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2=ax+by-cz,求证:x/ 已知a,b,c,x,y,z都是正数,求(b c)/ax^2 (c a)/by^2 (a b)/cz^2>=2(xy yz 问一道奥数不等式题设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>= 已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证：x/a abc为非零实数,(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2,求证x/a=y/b=z 已知abc为非零数,（a^2+b^2+c^2）(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz),求证x/a=y/b=z/ 已知a,b,c为非零实数（a2+b2+c2)×（X2+Y2+Z2)=(zX+bY+cZ)2 求证：X/a=Y/b=Z/ 设a,b,c,x,y,z,都是正数,且a^2+b^2+c^2=25.,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=3 设a,b,c,x,y,z都是实数,若a^2+b^2+c^2=25,x^2+y^2+z^2=25,ax+by+cz=25, 已知ax+by+cz=m(各字母均大于0).求x^2 +y^2 +z^2的最小值（用a,b,c,m表示）. 已知a:3=b:7=c:2≠0,如果ax=by=cz≠0,求x:y:Z的值已知a/3=b/7=c/2≠0如果ax=by=cz≠0,求x:y:z的值