反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.

反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.

下图中,⊙A(蓝)与⊙B(绿)关于⊙O(红)互为反演.
直线AB分别交⊙A, ⊙B于M,N和M',N'.(圆心A,B并未画出).
设⊙O半径为r,以O为原点,各点坐标标注如图.

取P为坐标x = (ab+r²)/(a+b)的点.
则P对⊙O的幂 = PO²-r² = x²-r²
= ((ab+r²)²-r²(a+b)²)/(a+b)²
= (ab-r(a+b)+r²)(ab+r(a+b)+r²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².

P对⊙A的幂 = PM·PN = (x-a)(x-b)         (注意这里PM,PN是有向线段,可取负值)
= (ab-a(a+b)+r²)(ab-b(a+b)+r²)/(a+b)²
= (r²-a²)(r²-b²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².

P对⊙B的幂 = PM'·PN' = (x-r²/a)(x-r²/b)     (同上)
= (ax-r²)(bx-r²)/ab
= (a(ab+r²)-r²(a+b))(b(ab+r²)-r²(a+b))/(ab(a+b)²)
= (a²-r²)(b²-r²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².

于是,P对⊙A, ⊙B, ⊙O的幂都相等,
从而其中任意两个圆的根轴都经过P点.
又由根轴与连心线垂直,所以三条根轴都是过P并与AB垂直的唯一的直线.
因此三圆共根轴(黄线),证毕.

注:图中这种情形其实有非常简单的证明.
因为⊙A与⊙O相交,所以二者的根轴是两圆公共弦所在直线.
而与⊙O的交点在反演下不变,所以⊙B也与⊙O交于同样两点.
⊙B与⊙O的根轴也是同一公共弦所在直线.
当然,⊙A与⊙B的根轴也一样,因此三圆共根轴.

不过这只适用于⊙A与⊙O相交或相切的情形,相离或内含时就行不通了.
虽然也有纯几何证明,不过分情况画图比较麻烦.
所以我选用了可以统一处理的上述代数证明.
再问： 我就是想问一下什么叫反演后的圆和反演圆和被反演的圆
再答： 原来是问这个.
这要从点的反演说起.
在平面上取定一个⊙O, 设其半径为r.
则对平面上O以外的任意一点P,
可以定义P对⊙O的反演是射线OP上,
满足OP'·OP = r²的点P'.
也可以说关于⊙O的反演变换将P变为P',
⊙O就是这个反演变换的反演圆.
以上面的图为例, M关于⊙O的反演就是M',
N关于⊙O的反演就是N'.

反演变换其实是关于直线的反射变换的推广.
而之所以要引入这样一个看似奇怪的变换,
是因为它具有很丰富的性质, 同时有相当的自由度.
这允许我们在保持图形的部分性质不变的同时, 将图形简化.

最基本的性质之一, 是反演变换保圆或直线:
即如果若干点都在同一圆或同一直线上,
则反演之后它们仍在同一圆或同一直线上.
换句话说, 反演变换将圆或直线还变成圆或直线.
(注意, 圆可能变成直线, 而直线也可能变成圆).
所以可以考虑一个圆关于⊙O的反演.

例如上面的⊙A关于⊙O的反演就是⊙B.
就是说在以⊙O为反演圆的反演变换下, ⊙A被反演为⊙B.
从点来看, 就是⊙A上的任意一点在反演后都在⊙B上,
而且⊙B上的任意一点都是⊙A上某点的反演.