作业帮反三角函数公式证明问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 04:05:19
反三角函数公式证明问题
证明arcsinx+arcsiny = arcsin(x根号下（1-y^2）+y根号下(1-x^2)) 当xy≤0或x^2+y^2≤1
证明arcsinx+arcsiny = arcsin(x根号下（1-y^2）+y根号下(1-x^2)) 当xy≤0或x^2+y^2≤1
x^2+y^2≤1故x=sinA,y=sinB,其中A,B都是在[-π/2,π/2]
那么左边=A+B
右边=arcsin（sinA |cosB|+sinB |cosA|）
又因为当xy≤0且x^2+y^2≤1,故A,B分别在[-π/2,0]和[0,π/2]中,从而A+B∈[-π/2,π/2]
所以arcsin（sinA |cosB|+sinB |cosA|）=arcsin（sinA cosB+sinB cosA）=arcsin（sin（A+B））
而A+B∈[-π/2,π/2]
所以arcsin（sin（A+B））=A+B=左边
故原式成立.
PS：当xy≤0或x^2+y^2≤1 应该是 当xy≤0且x^2+y^2≤1
再问： x^2+y^2的范围与xy范围分别有什么作用。。。
我高一诶不知道
再答： 如果xy≤0是为了表明A,B分别在[-π/2，0]和[0，π/2]中，从而A+B∈[-π/2，π/2]
否则结论不一定成立了。
如果x^2+y^2≤1，那么A+B也会落在[-π/2，π/2]内，两个情况都是为了最后一步化简arcsin（sin（A+B））而服务的
另外你的题目没抄错，是我一开始理解错了。
那么左边=A+B
右边=arcsin（sinA |cosB|+sinB |cosA|）
又因为当xy≤0且x^2+y^2≤1,故A,B分别在[-π/2,0]和[0,π/2]中,从而A+B∈[-π/2,π/2]
所以arcsin（sinA |cosB|+sinB |cosA|）=arcsin（sinA cosB+sinB cosA）=arcsin（sin（A+B））
而A+B∈[-π/2,π/2]
所以arcsin（sin（A+B））=A+B=左边
故原式成立.
PS：当xy≤0或x^2+y^2≤1 应该是 当xy≤0且x^2+y^2≤1
再问： x^2+y^2的范围与xy范围分别有什么作用。。。
我高一诶不知道
再答： 如果xy≤0是为了表明A,B分别在[-π/2，0]和[0，π/2]中，从而A+B∈[-π/2，π/2]
否则结论不一定成立了。
如果x^2+y^2≤1，那么A+B也会落在[-π/2，π/2]内，两个情况都是为了最后一步化简arcsin（sin（A+B））而服务的
另外你的题目没抄错，是我一开始理解错了。