如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/12 07:05:08

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A₁MC₁；
（2）求直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

解法一：

（1）证明：取BC中点N，连结MN，C₁N，
∵M，N分别是AB，CB的中点，
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又EB=3CE，即E为NC的中点，
∴DE∥C₁N，
又DE不包含于平面A₁MC₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
（2）连结B₁M，∵AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四边形ABB₁A₁为矩形，且AB=2AA₁，

∵M是AB的中点，∴B₁M⊥A₁M，
∵CA⊥AA₁，CA⊥AB，AB∩AA₁=A，∴CA⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥B₁M，从而B₁M⊥平面A₁MC₁，
∴MC₁是B₁C₁在平面A₁MC₁内的射影，
∴B₁C₁与平面A₁MC₁所成角为∠B₁C₁M，
又B₁C₁∥BC，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角，
设AB=2AA₁=2，且△A₁MC₁是等腰三角形，

∴A1M＝A1C1＝
2，
则MC1＝2，B1C1＝
6，
∴cos∠B1C1M＝
MC1
B1C1=

6
3，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值为

6
3．
解法二：
（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，又AC⊥AB，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AA₁为y轴，以AC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2AA₁=2，又△A₁MC₁是等腰三角形，
∴A₁（0，1，0），M（1，0，0），C1(0，1，

如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?AB ,AB?2AA1,M是AB的中点,△A1MC1 如图,三棱柱ABC–A1B1C1中,底面三角形ABC是正三角形,AA1=AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠A1A 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1//平面A1CD(2)设AA1=AC 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上的第4题.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AC,点D为AA1的中点 ,求证,平面B1DC⊥平面B 三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=√2/2AB.(1)证明：BC1∥平面如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90度,AB=BC=AA1=2,D是AB的中点. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,角ACB=90°,AC=1,AA1=根号2,D为AB的中点.