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常微分方程 初始条件请问 为什么偏微分方程有边界条件,但是求解常微分方程的时候就没有,只有初始条件?

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 14:14:53
常微分方程 初始条件
请问 为什么偏微分方程有边界条件,但是求解常微分方程的时候就没有,只有初始条件?
首先为什么要有初始条件?
因为方程对时间有导数
解微分方程,从某种意义上来说就是求积分
而我们知道做不定积分的时候会出现一个常数C,
初始条件就是用来定这个C的
其次,有多少阶导数就需要多少个初始条件,因为求有两次导数的微分方程,可以看成需要积分两次,故而有两个待定常数.例如y''=f(y,t),一般需要两个初始 y(0),y'(0)
说完初始条件,我们来说边界条件
偏微分方程顾名思义指有多种导数,不一定只有t的导数
例如dy/dt+dy/dx=0
此时我们可以认为需要积分两次,对变量t一次,对x一次,所以也有两个待定常数
其中一个与t直接有关,所以需要y(t=0),另一个需要y(x=x0),一共两个.
再解释初始和边界条件的区别.
其实,初始条件是边界条件的特例
因为边界条件可以指任何地方,可以指定x(-1000),x(20000)
但是初始条件一般必然指t=0,很少会有t=t0>0
但是时间一般不会是负的,这是和边界条件主要的区别.
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