作业帮高数极限问题：这样等价无穷小代换可以不?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/16 16:26:33
高数极限问题：这样等价无穷小代换可以不?
lim(t->0) [ (1+t^2)^(1/sin t^2) ]^cos t^2 里面把sin t^2换成 t^2可不可以啊,好像它的分子是一,不能符合无穷小代换公式啊
lim(t->0) [ (1+t^2)^(1/sin t^2) ]^cos t^2 里面把sin t^2换成 t^2可不可以啊,好像它的分子是一,不能符合无穷小代换公式啊
说明：可以这样等价代换.若你不确定等价代换是否正确,此题可以用重要极限法求解.
（重要极限法）
原式=lim(t->0){[(1+t²)^(1/t²)]^(t²cost²/sint²)}
={lim(t->0)[(1+t²)^(1/t²)]}^[lim(t->0)(t²cost²/sint²)]
=e^[lim(t->0)(t²cost²/sint²)] (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{[lim(t->0)(cost²)]*[lim(t->0)(t²/sint²)]}
=e^(1*1) (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=e.
（重要极限法）
原式=lim(t->0){[(1+t²)^(1/t²)]^(t²cost²/sint²)}
={lim(t->0)[(1+t²)^(1/t²)]}^[lim(t->0)(t²cost²/sint²)]
=e^[lim(t->0)(t²cost²/sint²)] (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{[lim(t->0)(cost²)]*[lim(t->0)(t²/sint²)]}
=e^(1*1) (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=e.