数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 01:09:43

用反证法,假设存在连续双射f:R² → [0,1].
由f是满射,则存在(a,b),(c,d) ∈ R²使f(a,b) = 0,f(c,d) = 1.
不难构造连续映射g,h:[0,1] → R²,使g(0) = h(0) = (a,b),g(1) = h(1) = (c,d),
且对任意x,y ∈ (0,1),有g(x) ≠ h(y).
(实际上就是取两条(a,b)到(c,d)的连续曲线,并使二者在端点以外不相交).
可知复合映射fg,fh:[0,1] → [0,1]也连续,并满足fg(0) = fh(0) = 0,fg(1)=fh(1) = 1.
由介值定理,存在s,t ∈ (0,1)使fg(s) = 1/2 = fh(t).
但由f是单射,有g(s) = h(t),与g,h的选取矛盾.
因此不存在连续双射f:R² → [0,1].

求导后极限不存在,不能用洛必达法则说明原极限不存在.但若仍按数学分析上的0/0型的证明过程数学分析证明证明函数项级数在R上存在连续的导函数. 是先正一致收敛么?然后要怎样作? 好像上传不了图片那就直接打出来吧数学分析证明F是R上在任意区间内非常值的连续函数.满足:F[x] 大学数学分析问题求解证明y=sin(x^2)在（-无穷大, +无穷大）上不一致连续学霸们,帮忙解答啊!急需,拜托了～设定义在R上的函数f在0、1两点连续,且对任何x属于R有f(x^2)=f(x).证明f为常量函数. 数学分析的一道证明题高数题求解.设函数f（x）在0到1上闭区间连续,证明怎么证明limx->0 sin(1/x)的极限不存在? 数学分析上一道证明题,急一道高中的证明题!求证:抛物线C:y=(x^2/2)-1上不存在关于直线l:x+y=0对称的两点神不存在的证明? 证明y=sinx 在R上连续,请问下图画线的步骤（三角公式）