作业帮已知函数f（x）=4sinx•sin2（π4+x2）+2cos2x+1+a，x∈R是一个奇函数．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/13 03:33:38
已知函数f（x）=4sinx•sin2（
| π |
| 4 |
（1）f（x）=4sinx•sin2（
π
4+
x
2）+2cos2x+1+a
=4sinx•
1−cos(
π
2+x)
2+2cos2x+1+a
=2sinx（1+sinx）+2cos2x+1+a
=2sinx+2sin2x+2cos2x+1+a
=2sinx+3+a，
∵函数f（x）为奇函数，
∴a+3=0，即a=-3，f（x）=2sinx，
f（2x）=2sin2x≥-
3，
即sin2x≥-
3
2，
∴2kπ+
4π
3≥2x≥2kπ-
π
3，k∈Z
kπ-
π
6≤x≤kπ+
2π
3，k∈Z，
即此时x的集合为[kπ-
π
6，kπ+
2π
3]（k∈Z）．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，当|θ|＜
π
2时恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin2x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin2x+2sinx-1的最大值为f（
1
2）=-
1
2+1-1=-
1
2，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-
1
2，
-
2π
3＜2θ＜
2π
3，即-
π
3＜θ＜
π
3．
π
4+
x
2）+2cos2x+1+a
=4sinx•
1−cos(
π
2+x)
2+2cos2x+1+a
=2sinx（1+sinx）+2cos2x+1+a
=2sinx+2sin2x+2cos2x+1+a
=2sinx+3+a，
∵函数f（x）为奇函数，
∴a+3=0，即a=-3，f（x）=2sinx，
f（2x）=2sin2x≥-
3，
即sin2x≥-
3
2，
∴2kπ+
4π
3≥2x≥2kπ-
π
3，k∈Z
kπ-
π
6≤x≤kπ+
2π
3，k∈Z，
即此时x的集合为[kπ-
π
6，kπ+
2π
3]（k∈Z）．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，当|θ|＜
π
2时恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin2x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin2x+2sinx-1的最大值为f（
1
2）=-
1
2+1-1=-
1
2，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-
1
2，
-
2π
3＜2θ＜
2π
3，即-
π
3＜θ＜
π
3．
已知函数f （x）=2sin2(π4+x)−3cos2x−1，x∈R．
已知函数f（X）=2sin2(π/4+x)-根号3cos2x-1,
已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈R．
已知函数f(x)＝sin(2x+π6)+2sin2(x+π6)−2cos2x+a−1（a∈R，a为常数）
（2010•安庆模拟）已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x，x∈[π4，π2]．
（2009•奉贤区二模）已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x
（2014•昌平区二模）已知函数f（x）=cos2x+sinx-1，（x∈R）．
已知函数f(x)=23sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
已知f(x)=2sinx(1+sinx)+cos2x+a,x属于R是奇函数.（1）求实数a的值和f(x)值域；（2）设w
（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（π4）=0，其中a∈R，θ∈（
（2007•湖北）已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈[π4，π2]．
（2011•徐州模拟）已知函数f（x）=sin2（x-π6）+cos2（x-π3）+sinx•cosx，x∈R．