已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且FQ⊥(PF+PQ)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/09 03:28:53

已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

⊥(

)

（1）设动点P（x，y）．依据题意，可得
Q(−2，y)，

FQ＝(−4，y)，

PF＝(2−x，−y)，

PQ＝(−2−x，0)．　　　　（3分）
又

FQ⊥(

PF+

PQ)，
于是，

FQ•(

PF+

PQ)＝0，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y²=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l₁过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l₁的斜率不为零，故设l₁：x=my+2．　　　　　　　　　（7分）
联立方程组

y2＝8x
x＝my+2得y²-8my-16=0．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2＝8m
y1y2＝−16，进一步得

x1+x2＝8m2+4
x1x2＝4.（10分）
又∵曲线C：y²=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=
1
|FA|+
1
|FB|＝
1
x1+2+
1
x2+2=
4+x1+x2
x1x2+2(x1+x2)+4=
1
2=右边．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴
1
|FA|+
1
|FB|＝
1
2．证毕！
（3）由（2）可知，

OA＝(x1，y1)，

OB＝(x2，y2)．
∴cosθ＝

OA•

OB
|

OA|•|

OB|＝
x1x2+y1y2

x21+
y21•

x22+
y22=
−12

x21+8x1•

x22+8x2=
−6

100+64m2≥−
3
5（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴(cosθ)min＝−
3
5．（18分）

已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量FQ⊥向量（PF+ 1.已知点F（0,1）,直线l：y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*QF-FP*FQ 已知F（1,0）,直线l：x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*向量QF=向量FP*向量已知点F(0,1),直线l:=-1,p为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q… 已知平面上一定点c（4,0）和一定直线L：x=1,p为该平面上的一动点,作PQ⊥L,垂足为Q,且（向量PC+2向量PQ）已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l 1 垂直于x轴，动点P在l 1 上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记已知点P是直线l：3x-4y+5=0上的动点，定点Q的坐标为（1，1），求线段PQ长的最小值及取得最小值时P的坐标．已知点p是直线l:3x-4y+5=0上的动点,定点q的坐标为(1,1),求线段PQ的最小值已知两定点E(-根号2,0)F(根号2,0),动点p满足向量PE.向量PF=0,由点p向x轴作垂线PQ,垂直为Q, 已知过点A（1,1）,且斜率为-m（m>0）的直线l与x,y轴分别交于点P,Q .过P,Q分别做直线2x+y=0的垂线, 已知平面上一个定点C（-1,0）和一条定直线Lx=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥L, 已知定点Q(5,2),动点P为抛物线y=4x上的点,F为抛物线y=4x的焦点,则使||PQ|+|PF||取得最小值的点P