正弦函数的傅里叶变换如图所示,是离散的两个点,那么只有一个周期的正弦函数的傅里叶变换是什么样的呢?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 02:40:26

如图,正弦函数的傅里叶变换到频域上是两个离散的点,那么只有一个周期的正弦函数,f(x)=sinx(-π<x<π),区间外为0,那么这个函数的傅里叶变换是什么样的呢?离散的还是连续的?周期的还是非周期的?

是连续且非周期的
只有一个周期相当于在原来的正弦函数上乘了一个窗函数（即在-π到π f(x)=1 ,其他都为0）
根据频域卷积定理时域的乘机对应频域的卷积
一个窗函数的频谱（即频域波形）是Sa(w)函数 Sa(w)=sin(w)/πw 这是一个非周期的函数
另外正弦的傅里叶变换不是两个点,而是两个单位冲击函数δ(w-w0)和δ(w+w0)
这个函数与任意的函数做卷积都有 F(w)*δ(w-w0)=F(w-w0)
于是相当于将两个Sa(w)函数分别平移到±W0位置上重建
叠加在一起之后仍旧是连续函数 ,而且非周期

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