作业帮求证:n是自然数时,n∧5－n一定能被30整除.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/09 19:48:39
求证:n是自然数时,n∧5－n一定能被30整除.
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1)是3个连续整数的积,显然既能被2整除,也能被3整除,
所以n^5-n能被6整除
下面证明n^5-n能被5整除
当n模5余0,1,4的时候显然n(n-1)(n+1)能被5整除
当n模5余2的时候,
设n=5m+2
n^2+1=(5m+2)^2+1
=25m^2+20m+5
能被5整除
当n模5余3的时候,
设n=5m+3
n^2+1=(5m+3)^2+1
=25m^2+30m+10
也能被5整除
因此
n^5-n能被5整除
又n^5-n能被6整除
所以n^5-n能被30整除
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1)是3个连续整数的积,显然既能被2整除,也能被3整除,
所以n^5-n能被6整除
下面证明n^5-n能被5整除
当n模5余0,1,4的时候显然n(n-1)(n+1)能被5整除
当n模5余2的时候,
设n=5m+2
n^2+1=(5m+2)^2+1
=25m^2+20m+5
能被5整除
当n模5余3的时候,
设n=5m+3
n^2+1=(5m+3)^2+1
=25m^2+30m+10
也能被5整除
因此
n^5-n能被5整除
又n^5-n能被6整除
所以n^5-n能被30整除
求证：对于任意自然数n,(n+5)-(n+2)(n+3)一定能被6整除
设n是正整数,求证n∧5－n可被30整除
求证：当n为自然数时,（n+7）*2 - （n-5）*2 能被24整除
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n为正奇数,求证(n+11)^2-(n-1)^2一定能被24整除
n是自然数,试证明10能整除n^5-n
如果N是正整数,求证N的3次方减6的值一定能被6整除.
高中奥数题一个整数n,n不能被2或5整除.求证：一定有一个只由1组成的整数,能被n整除.
设p为素数,n为任意自然数.求证：(1+n)^p-n^p-1 能被p整除.
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