作业帮关于二元函数极限的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：物理作业 时间：2024/06/01 15:48:37
关于二元函数极限的问题
二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等
但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,这是为什么呢?
比如f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）,但是沿y^2=x趋于（x0,y0）时,函数值趋于0
虽然很容易从数值计算上得出这一结论,但是我不知道如何从实质上分析
按道理来说,当点沿着y^2=x趋于（0,0）时,若无限接近（0,0）,y^2=x应该与其在（0,0）处的切线无限接近,也就是说在极限状态下,y^2=x应与其切线一致,那么,点在曲线上运动和在曲线的切线上运动有何不同呢
二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等
但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,这是为什么呢?
比如f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）,但是沿y^2=x趋于（x0,y0）时,函数值趋于0
虽然很容易从数值计算上得出这一结论,但是我不知道如何从实质上分析
按道理来说,当点沿着y^2=x趋于（0,0）时,若无限接近（0,0）,y^2=x应该与其在（0,0）处的切线无限接近,也就是说在极限状态下,y^2=x应与其切线一致,那么,点在曲线上运动和在曲线的切线上运动有何不同呢
粗略的理解,切线只是曲线在某点邻域上的一个线性近似.
将沿曲线运动的点换为沿切线运动,难免产生一定的误差.
这个误差的大小一方面依赖于曲线与切线的接近程度,
另一方面依赖f(x,y)在该点附近的光滑程度.
对于问题中的例子,考虑y² = x上的动点(a²,a),与(0,0)处的切线x = 0上的动点(0,a).
两点间的距离只有a²,当a趋于0时算是相对高阶的无穷小.
但是对于固定的a,f(x,a)在x = 0附近有较为剧烈的变化,
表现为偏导数f'x(0,a) = -2/a²,随a趋于0而趋于无穷.
这导致虽然x变化不大(a²级别),但是函数值变化还是较大(常数1).
将沿曲线运动的点换为沿切线运动,难免产生一定的误差.
这个误差的大小一方面依赖于曲线与切线的接近程度,
另一方面依赖f(x,y)在该点附近的光滑程度.
对于问题中的例子,考虑y² = x上的动点(a²,a),与(0,0)处的切线x = 0上的动点(0,a).
两点间的距离只有a²,当a趋于0时算是相对高阶的无穷小.
但是对于固定的a,f(x,a)在x = 0附近有较为剧烈的变化,
表现为偏导数f'x(0,a) = -2/a²,随a趋于0而趋于无穷.
这导致虽然x变化不大(a²级别),但是函数值变化还是较大(常数1).