如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/03 04:02:13

如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），
（1）用直尺和圆规在边CD上找一个点P，使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点（不写作法，保留作图痕迹）．连结AP，AQ，PQ
（2）在（1）中作的新图形中，已知AB=5，AD=13，求CP的长．
（3）在（2）的条件下，点M为直线BC上一动点，△PQM为等腰三角形，请直接写出BM的长．

（1）点P就是所求的图形；
（2）在直角△ABQ中，BQ=
AQ2−AB2=
132−52=12，
则QC=BC-BQ=13-12=1，
∵∠AQP=∠ADC=90°，
∴∠AQB+∠PQC=90°，
又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，
∴∠PQC=∠BAQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCP，
∴
CP
BQ=
QC
AB，即
CP
12=
1
5，
解得：CP=
12
5；
（3）当P是顶角顶点时，M在CQ的延长线上，CM=CQ=1，
则BM=13+1=14；
在直角△PCQ中，PQ=
PC2+CQ2=
(
12
5)2+12=
13
5，
当Q是等腰三角形的顶角顶点时，QM=PQ=
13
5，当M在BQ上时，BM=BQ-QM=12-
13
5=
47
5；
当Q在BQ的延长线上时，BM=BQ+QM=12+
13
5=
73
5；
当M是等腰三角形的顶角顶点时，M在PQ的中垂线上，如图．

PN=
1
2PQ=
1
2×
13
5=
13
10，
∵∠PQC=∠BAQ，∠B=∠QNM=90°，
∴△ABQ∽△QNM，
∴
QM
AQ=
QN
AB，即
QM
13=

13
10
5，
解得：QM=
169
50，
则BM=BQ+QM=12+
169
50=
769
50．
总之，BM=14或
47
5或
73
5或
769
50．