在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CH

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 10:48:02

在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.

不放设△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,
容易知道H在△ABC外,（详见附图）,
连接HA,并延长交BC于D,连接HB,交CA延长线于F,连接HC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖HC,交HB于M,过A作AN‖HB,交HC于N,则
四边形AMHN是平行四边形
∴向量HA=向量HM+向量HN
∴向量HB*tanB/(-tanA)+向量HC*tanC/(-tanA)
=向量HB*(AE/BE)+向量HC*(AF/CF)
=向量HB*(MH/BH)+向量HC*(NH/CH)
=向量HM+向量HN
=向量HA
∴向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量HA*(-tanA)
∴向量HA*tanA+向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量0
得证
祝愉快!
为方便理解,请参看附图：

在△ABC中∠A,∠B,∠C,所对的边分别是a,b,c,边上的高分别为ha,hb,hc. △ABC三条高分别为ha.hb.hc,r为内切圆半径,且ha+hb+hc=9r求证:该三角形为等边三角形一道高一的几何证明题已知四面体ABCD中,G,M,N分别是△BCD,△ABC,△ABD的重心.求证：平面GMN‖平面AC 如图,AD是△ABC的角平分线,过点A的直线MN⊥AD,CH⊥MN,垂足为H,求证:HB+HC>AB+AC.急用啊已知等边△ABC和点P,P到△ABC三边bc、ab、ac距离为ha,hb,hc,△ABC高h,若P在BC上,求证hb=h 在四面体ABCD 中,△ABD、△BCD、△ACD、△ABC都全等,且AB=AC=√3 ,BC=2,求证：平面BCD⊥平在三棱锥A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,求证：MN∥平面ABC,MN∥平面ABD. 在三棱锥A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,求证：MN∥平面ABC,MN∥平面ABD △ABC三边BC AC AB的长分别为a b c 这三边的高依次为 ha hb hc 若a≤ha b≤hb 则该三角形为如图，在四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证： △ABC的三边长为:a=2,b=4,c=3,设三边上的高分别为ha、hb、hc,求ha:hb:hc 设△ABC的三边长为a,b,c,三边上的高为Ha,Hb,Hc,已知a:b:c=5:4:6,求Ha:Hb:Hc.