设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 23:41:25

设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

（1）∵f^′（x）=2ln（2x+1）+2，
f^′（x）=0，
∴x=
1
2(
1
e−1)
当x∈(
1
2(
1
e−1)， +∞)，f^′（x）＞0
当x∈(−
1
2，(
1
2(
1
e−1))，f^′（x）＜0
∴函数的极小值是f（
1
2(
1
e−1)+=-
1
e
（2）x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g^′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=
1
2ea−1−1
当a≤1，a-1≤0，
1
2ea−1−1≤0
g^′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，对于x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
当a＞1时，a-1＞0，
1
2(ea−1−1)＞0
当x∈[0，
1
2(ea−1−1))，g^′（x）＜0恒成立，
又g（0）=0，∴当x∈[0，
1
2(ea−1−1))时，g（x）≤g（0）=0成立，
即当a＞1时，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
综上可知a≤1．

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