求证:若S的任一无穷子集在S中都有聚点,则S是有界闭集.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 09:35:52

先证明有界性.
反证法.若S无界,则存在点列{xn}包含于S,但|xn|>n,于是
lim xn＝无穷,{xn}在S中无聚点.矛盾.于是S有界.
再证明S是闭集.只需证明S的任一聚点位于S中.
令a是S的聚点,由聚点的性质,存在S中的互异点列{xn},使得
lim xn＝a,由条件{xn}有一收敛子列收敛于S中的点,但先在
{xn}收敛于a,因此a属于S.证毕.
其实,如果知道性质：S是闭集的充要条件是
S对极限运算封闭,那第二个证明就很简单了.
设任一收敛点列{xn}有lim xn＝a,其中xn都属于S.
由条件a属于S,因此S对极限运算封闭,故S是闭集.
再问：由条件{xn}有一收敛子列收敛于S中的点，但先在 {xn}收敛于a，怎么理解上句话？

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