分式上下都有平方最值怎么求最小值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 06:00:34

分式上下都有平方最值怎么求最小值
（20-6x）^2/9(4-x^2),比如这个

这种分子分母都有x^2的情况对于一般情形要分情况讨论：
一般形式：(x^2+ax+b) / (mx^2+nx+t ) 任何形式都可以化成这种一般形式
　　所谓分离常数只是最基本但必要的一步（如果没有学过导数）：就是让分子出现一个系数乘以分母再加上一个x的一次项（系数可以为0）和常数项,
　　上面的一般形式根据上面步奏变形：[ 1/m *(mx^2+nx+t) +(a-n/m)x+ b-t/m ] / (mx^2+nx+t )
　　=1/m + [(a-n/m)x+ b-t/m ] / (mx^2+nx+t )
　　现在要考虑上面式子最小值只需要考虑后面式子的最小值,
这相当于求一个一般形式为（x+u) / (vx^2+px+q)的最小值
　　下面把分母变化为含有分子的形式,分母=v(x+u)^2 +(p-2uv)(x+u) + (q-up+vu^2)
　　然后分子分母同时除以（x+u) ,x=-u时最后再考虑；这样得到一个式子一般形式为：1/ (ax +b/x +c)；这里的a、b、c不是上面的a、b、c只是一个常数,
　　a不为0.
　　那么就转化为求1/ (ax +b/x +c)的最小值,即ax +b/x +c的最大值,（a≠0） c是一个常数但是要考虑,因为有可能就是这个c让本来前面ax +b/x 最大值是个负数（或正数）加（减）成了一个正数（负数）.不要小看这一个变化,由负到正或由正到负的变化经过了0,要知道这是在分母上面,所以多一个c就会麻烦一些.
　　这里分情况考虑：1):：a>0,b>0；这时不存在最大值,即原分式没有最小值,但是可能有最大值,用均值不等式,这时如果c0,

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