证明：矩阵A的满秩分解具体形式如下：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 21:21:55

证明：矩阵A的满秩分解具体形式如下：
如果矩阵A的秩为r,A的某个极大无关列向量组为B=[a1,...,ar],A的最间行阶梯阵为A~[Cr;0] (Cr为r行的行向量,0为n-r行的行向量),证明：A=B*Cr
A的最间行阶梯阵为A~[Cr;0] ----“最间”应该为“最简” （笔误）

其实你的问题本身就有疑问.
A=
1 0 1
0 1 1
这个矩阵的显然秩=2,第2列和第3列是他的一个极大无关组,即：a2=[0 1]^T,a3=[1 1]^T.因为a1可以由a2,a3来表示.(a1=a3-a2)
所以B=
0 1
1 1
A本身就是最简行阶梯型.
所以Cr=
1 0 1
0 1 1
那你说A=B*Cr吗?显然是不对的!
其实B中的极大无关组,不是随便选的,你不能说是“某个极大无关组”,而是特定的几大无关组.
B中的列向量,必须是Cr的非零首元所在的那个列的列向量!
比如本题,Cr的非零首元是C11和C22,那B的选取只能是A的第一列和第二列,即
B=
1 0
0 1
这样就对了.
A的第二列和第三列虽然也是一个极大无关组,但它并又有和C中的非零首元对应上,因此就不对.
再问：谢谢你的回答，应该是非零首元所在的极大无关组向量作为B，关键是怎样证明这个结论正确呢？
再答：其实“最简行阶梯型”的意义就在于此。还是以上面的例子来说，最简行阶梯型是： 1 0 1 0 1 1 我们看这个最简行阶梯型能得到什么？能得到： A的第一列和第二列线性无关，可以作为一个极大无关组，剩余的那个第3列的向量，就是第1列加上第2列。Cr中最后那列向量相当于一个组合系数！！再比如最简行阶梯型是 1 0 2 4 0 1 3 5 说明原矩阵中a1,a2是极大无关组，a3 = 2a1+3a2, a4=4a1+5a2 此时我们想要恢复出原矩阵A，不就是 A=[a1 a2 2a1+3a2 4a1+5a2 ]嘛？那这个式子写成矩阵乘法不就是： A=[a1 a2]* 1 0 2 4 0 1 3 5 嘛！（把Cr分成上下两块，然后用分块矩阵的乘法）所以我觉得这个证明过程不是很好写，因为“最简行阶梯型”“非零首圆”这种东西，本身在《矩阵论》里就不是那么严格定义的。但是说理和理解思路还是比较容易的。

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