若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+(15/4)x-9都相切,则a的值为、、?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 06:03:35
若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+(15/4)x-9都相切,则a的值为、、?
设该直线与曲线y=x^3的切点为(x0,x0^3),则由直线上两点(x0,x0^3)和(1,0)得斜率k=x0^3/(x0-1);
y'=3x^2,由导数得斜率k=3x0^2;
所以:x0^3/(x0-1)=3x0^2,即x0=3x0-3,得:x0=3/2,所以:k=27/4;
所以这条直线为y=27(x-1)/4;
设该直线与曲线y=ax^2+(15/4)x-9的切点的横坐标为m,y'=2ax+15/4,
切线斜率k=2am+15/4=27/4,得:2am=3,即m=3/2a;把m=3/2a代入切线y=27(x-1)/4,
得切点的纵坐标为y=81/8a-27/4,所以切点为(3/2a,81/8a-27/4)
代入曲线y=ax^2+(15/4)x-9得关于a的方程:
81/8a-27/4=9/4a+45/8a-9,整理得:9/4a=-9/4,所以:a=-1
(注:切线问题,在某点处的切线,和过某点的切线,这两种说法是不一样的,后者那个点有可能不在曲线上,而切线问题的关键就是找切点,或者说找切点的横坐标)
如果不懂,请Hi我,
再问: 为什么x0=0要舍掉
再答: 额,不好意思,被我忽略掉了,应该不能舍的,也就是说还有一条是x轴, 此时,容易一点:y=ax^2+(15/4)x-9与x轴相切:△=225/16+36a=0得:a=-25/64 实在抱歉。。。
y'=3x^2,由导数得斜率k=3x0^2;
所以:x0^3/(x0-1)=3x0^2,即x0=3x0-3,得:x0=3/2,所以:k=27/4;
所以这条直线为y=27(x-1)/4;
设该直线与曲线y=ax^2+(15/4)x-9的切点的横坐标为m,y'=2ax+15/4,
切线斜率k=2am+15/4=27/4,得:2am=3,即m=3/2a;把m=3/2a代入切线y=27(x-1)/4,
得切点的纵坐标为y=81/8a-27/4,所以切点为(3/2a,81/8a-27/4)
代入曲线y=ax^2+(15/4)x-9得关于a的方程:
81/8a-27/4=9/4a+45/8a-9,整理得:9/4a=-9/4,所以:a=-1
(注:切线问题,在某点处的切线,和过某点的切线,这两种说法是不一样的,后者那个点有可能不在曲线上,而切线问题的关键就是找切点,或者说找切点的横坐标)
如果不懂,请Hi我,
再问: 为什么x0=0要舍掉
再答: 额,不好意思,被我忽略掉了,应该不能舍的,也就是说还有一条是x轴, 此时,容易一点:y=ax^2+(15/4)x-9与x轴相切:△=225/16+36a=0得:a=-25/64 实在抱歉。。。
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