求证:对任何自然数n,123...k+23*4...(k+1)+...n(n+1)...(n+k-1)=[n(n

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 08:09:15

求证:对任何自然数n,1*2*3...*k+2*3*4...(k+1)+...n(n+1)...(n+k-1)=[n(n+1)...(n+k)]/(k+1)

求证: 1*2*3*...*k+2*3*4*...*(k+1)+...+n(n+1)*…*(n+k-1)=[n(n+1)*...*(n+k)]/(k+1) (n为自然数)
证一：数学归纳法.略.
证二：裂项法.
1*2*3...*k = (-0*1*2*3...*k+1*2*3...*k*(k+1))/(k+1)
2*3...*k*(k+1)= (-1*2*3...*k*(k+1)+2*3...*(k+1)*(k+2))/(k+1)
...
n(n+1)*…*(n+k-1)=(-(n-1)n(n+1)*…*(n+k-1)+n(n+1)*...*(n+k)]/(k+1)
将上面各式求和,得证.
证二的另一描述：
(i+1)(i+2)*...*(i+k)=(-i*(i+1)(i+2)*...*(i+k)+(i+1)(i+2)*...*(i+k)*(i+k+1))/(k+1)
对i=0到n-1累加即证.另外可以用连加号∑(sum)和连乘号∏(prod)来表示,略.
外一则：等效于证
k!/0!+(k+1)!/1!+...+(k+n-1)!/(n-1)!=((k+n)!/n!)/(k+1)
两边同除k!,即证
C(k,0)+C(k+1,1)+...+C(k+n-1,n-1)=C(k+n,n)/(k+1)

求证：lim1^k+2^k+3^k+4^k+.n^k/n^(k+1)=1/k+1 请问1^k+2^k+3^k+.+n^k=? 求极限k^2/(n^3+k^3) n趋于无穷,k=1到n (n->00) Lim(n+k)/(n^2+k)(n从1—直加到n) ∑(k-1)k=∑k^2+-+∑k=(n-1)n(n+1)/3,(k=1,2,3...n)+是什么公式 1^k+2^k+3^k+.+n^k 有无表达式求证:Ck^K+Ck^(k+1)+Ck^(k+2)+Ck^(k+3)+...+Ck^(k+n)=C(k+1)^(k+n+ 各路大神请指教级数求和 1/n(n+1)(n+2)(n+3).(n+k) 求证两个组合恒等式(1)C(n,0)+C(n+1,1)+...+C(n+k,k)=C(n+k+1,k)(2)C(m,0) 求证：（1）k/(k+1)!=1/k!-1/(k+1)!(2)1/2!+2/3!+…n/(n+1)!=1-1/(n+1) sum（k,n）=1^k+2^k+...+n^k 的vb编码整数分拆公式p(n+k,k)=p(n,1)+p(n,2)+.+p(n,k) 如何证明