求柱面x^2+y^2=R^2与x^2+z^2=R^2所围立体的表面积

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 16:45:18

求柱面x^2+y^2=R^2与x^2+z^2=R^2所围立体的表面积
箭头那里为什么前面要有个4呢?
所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成.
其中一个表面积S=∫∫ds (z=√(r²-x²),D：x²+y²=r²)
∵αz/αx=-x/√(r²-x²),αz/αy=0
∴ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=[r/√(r²-x²)]dxdy
则 S=∫∫ds
=∫∫[r/√(r²-x²)]dxdy
→→ =4r∫dθ∫ρdρ/√(r²-ρ²cos²θ) (作极坐标变换)
=-2r∫dθ∫d(r²-ρ²cos²θ)/[cos²θ√(r²-ρ²cos²θ)]
=4r∫[(r-rsinθ)/cos²θ]dθ
=4r²∫(sec²θ-sinθ/cos²θ)dθ
=4r²(tanθ-secθ)│
=4r²(0+1)
=4r²
故所求表面积=4S=4(4r²)=16r².

因为是4个表面积呀,而且这4个表面积还相等.
后面的算式只是一个表面积,所以要乘以4.
我的答题到此结束,
再问：那为什么最后一句话表面积=4S 这感觉就不对了啊两个4
再答：不好意思，前面都是瞎说的，是错误的。
你不追问我还不记得这题了，那会就图好玩随便答的，根本没有仔细看题。
这里再次诚挚表示抱歉！

刚仔细看了题目，之所以乘以4是因为后面极坐标变换时，变换的角度应该为0~2π，但是用的是0~π/2。这里之所以可以用4倍0~π/2，原因也是一样，一块面积可以分成4快相等面积，然后用4乘以其中一块就好。
这里的4是分成4份的意思，每一份的面积与0~π/2的面积一致。

最后的四才是4块表面积。

不好意思的说。谢谢。还有不清楚，继续可以问。
再问：你的意思是前面那个4是在xoy的投影上分成四份吗？那这样最后那里只要乘以2就好了呀为什么要乘以4呢
再答：最后当然要乘以4，因为是4块相同表面积。
前面是把4个表面中的一个分成4份，后面则是四个相同表面积。
你为什么会认为最后只要乘以2？前面说的其中一个表面积分成4份，当然不影响后面4个表面积汇总，最后的4个表面积还是4个呀！
如果还是不懂，请详细描述问题。如果可以，说说自己怎么想的和结论得出的原理。
谢谢！
再问：按照我的想法是总共有8个卦限对吧，只要先算一个卦限然后乘以8就好了，它这种思路我有点不太明白你说的4个表面是怎么分的，一个表面又怎么分成四份
再答：八个卦限？五行八卦？这个组合的四个表面，你有机会可以自己试着减一减，或者绘图工具画一画，我想有的绘图工具应该行。我手绘了一会，实在太抽象，猜测应该是四个跟椭圆类似或者就是椭圆的图像组成。
我做了一个模型，照片如下：

模型由四个相同表面积组成，然后其中一个面求解面积时，用极坐标变换角度是0~2π，所以划分为4个0~π/2的平面。

我的答题到此结束，谢谢希望我的答案对你有帮助。还有问题请继续追问。谢谢
再问：哦，懂了，之前徒手画图太抽象看不懂，谢谢了
再答： ^_^

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